Любая ли конечная схема «разрешима» с помощью закона Ома и правил Кирхгофа? [дубликат]

В других ответах отмечено, что общее количество уравнений верное, но на самом деле этого недостаточно, чтобы гарантировать уникальное решение. Есть по крайней мере два варианта того, как что-то может выйти из строя:

• Уравнения несовместимы. Например, рассмотрим схему, состоящую только из двух идеальных$1$Вольт батарейки по часовой стрелке. Тогда правило цикла Кирхгофа$1+1 = 0$который не имеет решения.
• Уравнения неполные. Предположим, что где-то в вашей цепи есть замкнутый контур с нулевым сопротивлением и, возможно, группа батарей, ЭДС которых равна нулю. (Например, возьмите предыдущий пример и переверните одну из батарей.) Тогда правило цикла Кирхгофа будет$0 = 0$что вообще ничего не говорит; ток в этой цепи не определен.

На самом деле отсутствие решений или неуникальные решения довольно часто встречаются в простых физических моделях. Часто это означает, что идеализация, используемая в этой модели, не работает. Проблемы, о которых я упоминал, можно решить, придав всем батареям и проводам маленькое внутреннее сопротивление.

С одной батареей и любой комбинацией резисторов, которые не закорачивают батарею, есть уникальное решение для напряжений и токов.
Идея суперпозиции для цепи с любым числом батарей позволяет найти вклад в токи и напряжения от каждой батареи независимо, при условии, что батарея не замкнута накоротко.
Затем можно сложить токи и напряжения, создаваемые каждой батареей, чтобы найти токи и напряжения для всей цепи.

Итак, как показано в общих чертах, ответ на вопрос «Разрешима» ли любая конечная схема с использованием закона Ома и правил Кирхгофа для петель? , только с резисторами и батарейками в цепи - "да".

Я, возможно, недостаточно ясно объяснил, что я имел в виду под фразой с оговоркой, что батарея не закорочена.
Короткое замыкание могло произойти, если параллельно были подключены только две батареи. Единственная конфигурация, которая будет работать с двумя батареями параллельно, - это если они будут соединены вместе с одинаковой полярностью и будут иметь одинаковую ЭДС, тогда две батареи можно будет рассматривать как одну.

Ответ Кристофа действительно великолепен, но если он слишком запутан для вас, инженерный способ выразить этот факт состоит в том, чтобы сказать, что в любой такой схеме количество неизвестных в уравнении схемы равно количеству известных, поэтому алгебраическая решение всегда существует.

Соотношение Эйлера для планарного графа ( Википедия ), вероятно, является важным компонентом доказательства. Обозначать$e$количество ребер,$f$количество лиц и$n$количество узлов, соотношение Эйлера утверждает, что

Предположим, что электрическая цепь является частным случаем плоского графа. Мы хотим вычислить интенсивность потока в каждой ветви (или ребре) этого графа. Поэтому есть$e$переменные. В каждом узле сумма интенсивностей должна обращаться в нуль (закон Кирхгофа). Обратите внимание, что если у нас есть два узла, соединенных одним или несколькими ребрами, два закона Кирхгофа, записанные для этих двух узлов, фактически идентичны. Число независимых законов Кирхгофа не$e$но$e-1$.

Вокруг каждой грани графика сумма электрических напряжений должна равняться нулю (закон Кирхгофа о напряжении). Из определения количества граней плоского графа имеем$f-1$(и не$f$) Законы напряжения Кирхгофа в наших цепях.

Таким образом, в заключение$(n-1)+(f-1)$уравнения. Согласно соотношению Эйлера, число уравнений$n+f-2$равно количеству переменных.

Вероятно, еще предстоит некоторая работа, чтобы сделать это строгим (любая помощь в улучшении приветствуется), но это может быть идеей доказательства.

Приложение Полное и доступное доказательство можно найти в статье PDF

Доказательство, которое вам нужно, состоит в том, что смысл «решения схемы» состоит в том, чтобы найти значения для всех неизвестных, которые удовлетворяют уравнениям ограничений. Закон Кирхгофа о напряжении охватывает все эти ограничения. Доказательством этого является немного отрицательное доказательство. Обычно вы доказываете это, показывая, что вам удобно моделировать реальную схему с идеальными батареями, идеальными проводами и идеальными резисторами.

Тривиально показать, что это не моделирует все возможные схемы, но вы обнаружите, что это довольно хорошая модель во всех случаях. Несмотря на это, ваша формулировка постановки задачи указывает на то, что предполагается, что этой модели достаточно.

Получив это, вы можете продемонстрировать, что все эти ограничения являются линейными, поэтому вы решаете систему линейных уравнений.

Мы можем, конечно, продемонстрировать , когда мы можем решить схему с этими формами, представив эти ограничения в матричной форме, а затем спросив, является ли матрица обратимой. Если да, то система разрешима. И, конечно же, как отмечали другие, это решаемо, когда:

• Уравнений столько, сколько переменных
• В системе нет несоответствий или повторяющихся уравнений (что сделает матрицу сингулярной)

Эти вещи не будут происходить в правильно сформированных цепях, но могут появиться, когда вы делаете такие вещи, как короткое замыкание батареи или два провода, которые идут между одними и теми же узлами (таким образом, вы не знаете, сколько тока проходит каждый). Мы обычно решаем последнее, объединяя провода вместе, а первое решаем либо делая схему менее ужасной, либо используя более полные модели батарей и проводов.