Математически ориентированная трактовка общей теории относительности

Физика работает в этой области достаточно строго. Хокинг и Эллис — это стандартная ссылка, и с точки зрения строгости она превосходна.

Отступление от обозначений

Если у вас есть тензорное сокращение какой-то умеренной сложности, например:

$$K_{rq} = F_{ij}^{kj} G_{prs}^i H^{sp}_{kq}$$

и вы пытаетесь выразить это в безиндексной нотации, обычно это означает, что вы делаете какое-то выражение в скобках, которое делает

$$K = G(F,H)$$

Или, может быть

$$K = F(G,H)$$

Или что-то другое. Очень легко доказать (строго), что не существует нотации скобок, которая воспроизводит сокращения тензорных индексов, потому что скобки анализируются стековым языком (контекстно-свободная грамматика в классификации Хомского), в то время как индексы не могут анализироваться таким образом, потому что они включают общие графики. Скобки генерируют деревья синтаксического анализа, и у вас всегда экспоненциальное количество максимальных деревьев внутри любого графа, поэтому в обозначениях имеется экспоненциальная избыточность.

Это означает, что любая попытка записи без индекса, использующей круглые скобки, как это делают математики, обречена на сокрушительный провал: она будет иметь экспоненциально много различных выражений для одного и того же тензорного выражения. В математической литературе вы часто встречаете тензорные пространства, определенные в терминах карт, с множеством «естественных изоморфизмов» между различными классами карт. Это отражает ужасное соответствие между функциональной записью и записью индекса.

Диаграммные формализмы фиксируют экспоненциальный рост

Поскольку нотация в скобках не работает для тензоров, а сжатие индекса соответствует объектам в парах, существует много полезных диаграммных формализмов для тензорных объектов. Диаграммы представляют сокращения таким образом, что не требуется имя для каждого индекса, потому что линии диаграммы сопоставляют розетки и вилки линией без использования имени.

Для группы Лоренца и общей теории относительности Пенроуз ввел очень полезное обозначение диаграммного индекса. Для высокоспиновых представлений SU(2) и их символов Клебша-Гордона и Вигнера 6-j абсолютно необходимы диаграммы типа Пенроуза. Большая часть недавней литературы по квантовым группам и многочлену Джонса, например, полностью зависит от обозначений Пенроуза для индексов SU (2), а иногда и SU (3).

Диаграммы Фейнмана являются наиболее известным диаграммным формализмом, и они также полезны, потому что сжимающая структура индексов/пропагаторов в выражении квантовой теории поля приводит к экспоненциальному росту и неочевидным симметриям. Диаграммы Фейнмана заменили алгебраические выражения в стиле Швингера, потому что алгебраические выражения имеют ту же экспоненциальную избыточность по сравнению с диаграммами.

В области теоретической биологии возникает та же проблема расширения экспоненциальной записи. Диаграммы взаимодействия белков экспоненциально избыточны в обозначениях сети Петри или с точки зрения алгебраических выражений. Введенные там диаграммные обозначения полностью решают проблему и дают хорошее соответствие между диаграммным выражением и функцией белка в модели.

В области семантики внутри философии (если от нее что-то осталось) идеи Фреге также ведут к экспоненциальному росту того же типа. Фреге рассматривал предложение как композицию подлежащего и сказуемого, а сказуемое рассматривал как функцию от подлежащего к значению. Функция определяется присоединением сказуемого к подлежащему. Так что «Джон бежит» рассматривается как функция «Бежит» («Джон»).

Тогда наречие является функцией от предикатов к предикатам, поэтому «Джон бежит быстро» означает («быстро» («Бежит»)) («Джон»), где быстро действует на «бежит», чтобы создать новый предикат. , и это относится к «Джону».

Но как насчет модификаторов наречий, таких как «очень», как в «Джон бежит очень быстро»? Вы можете представить их как функции от наречий к наречиям или как функции от предикатов к предикатам, в зависимости от того, как вы заключите скобки:

(("очень"("быстро"))("Бежит"))("Джон")

против.

(("очень")(("быстро")("Бежит"))("Джон")

Какая из этих двух скобок верна, определяют две школы семантической философии. Ведутся бесконечные споры о правильном фрегианском представлении различных частей речи. Решение, как всегда, состоит в том, чтобы определить правильную диаграммную форму, которая устраняет экспоненциальную неоднозначность функционального представления в скобках. Тот факт, что философы не сделали этого за 100 лет такого рода дебатов о фрегианской семантике, показывает, что поле не является здоровым.

Я согласен с Роном Меймоном в том, что крупномасштабная структура пространства-времени Хокинга и Эллиса на самом деле уже достаточно строга математически. Если вы настаиваете на том, чтобы как-то дополнить это:

• Для чисто дифференциальных/псевдоримановых геометрических аспектов я рекомендую полуриманову геометрию Б. О'Нила.
• Для аналитических аспектов, особенно проблемы начального значения в общей теории относительности, вы также можете обратиться к «Задаче Коши в общей теории относительности » Ганса Рингстрема.
• Что касается сосредоточения внимания на сингулярностях, то я слышал несколько хороших отзывов об «Анализе пространственно-временных сингулярностей » С. Дж. Кларка, но сам еще не читал эту книгу подробно.
• Что касается вопросов, связанных с теоремой об отсутствии волос, теоремы Маркуса Хойслера об уникальности черной дыры являются довольно всеобъемлющими и самодостаточными.
• Еще один вариант - посмотреть на мадам. Общая теория относительности Шоке-Брюа и уравнения Эйнштейна . Книга не совсем подходит в качестве учебника для изучения. Но как дополнительный источник книга вполне хороша.

Если вам интересно узнать о математических инструментах, используемых в современной классической ОТО, а не о реальных теоремах, первая дюжина или около того глав книги « Точные решения уравнений поля Эйнштейна» (автор Stephani et al .) вполне подойдет.

Я рекомендую книгу Yvonne Choquet-Bruhat, Géométrie différentielle et systèmes extérieurs , потому что она очень короткая, содержит упражнения и написана в нужных вам обозначениях. Я очень рекомендую его (даже если вы не можете получить его с ее автографом).

Я также очень настоятельно рекомендую ее гораздо более длинный (но постарайтесь получить первое издание, которое все еще достаточно длинное) « Анализ, многообразия и физика » Ивонн Шоке-Брюа, Сесиль Девитт-Моретт и Маргарет Диллард-Блейк, в которой много упражнений и многое другое. больше физики... но это слишком долго. Боже мой, он даже включает броуновское движение и интегралы по траекториям....

Тем не менее, у Дирака и Шредингера есть хорошие и очень короткие книги по физике на эту тему, я тоже рекомендую их, хотя они не совсем то, что вы просили.

Книга Боба Героха тоже ценна.

В других ответах уже упоминается много хороших учебников по математическим аспектам общей теории относительности. Тем не менее, кажется, что еще не хватает двух книг, которые, на мой взгляд, также неплохи на эту тему. Позвольте мне добавить их сюда:

• М. Криеле: Пространство-время . Основы общей теории относительности и дифференциальной геометрии . том 59 конспектов лекций в монографиях по физике . Спрингер, Берлин, Гейдельберг, 1999.
• Р. Сакс и Х.-Х. Ву: Общая теория относительности для математиков . том 48 текстов для выпускников по математике . Спрингер, Нью-Йорк, 1977 год.

Может быть, вот этот: Математическое введение в общую теорию относительности.

Требования минимальны: студент второго/третьего курса бакалавриата по математике, не имеющий предварительных знаний в области дифференциальной геометрии или физики, кроме стандартного курса общей физики первого года обучения в колледже, должен быть в состоянии следовать этой книге. Ко всем упражнениям, включенным в книгу, есть полные решения.