Вывод метрики Шварцшильда с использованием всего механизма дифференциальной геометрии [закрыто]

Как можно вывести метрику Шварцшильда, используя весь механизм дифференциальной геометрии и как можно меньше используя компонентный подход?

Что-то в этом роде: начните с коллектора М 4 на котором метрика г с 2 сигнатуры Лоренца. Предполагать М 4 быть сферически симметричным в том смысле, что для любого 3 × 3 матрица вращения А соответствует отображение (вращение) М 4 , также называемый А ( А : М 4 → М 4 : п → А п , по всем точкам п ), что сохраняет длины всех кривых. Используя производную Ли, находим...

Записать метрику — значит дать ее компоненты в некоторых координатах... так что вы должны рассказать нам, что такое «компонентный подход».
Что ж, можно изложить все условия и тому подобное на свободном от координат языке. И выбирать координаты как можно позже.
Википедия, вывод решения Шварцшильда. Это дает интуитивное и легкое объяснение. То, о чем вы просите, невозможно, как решить уравнения поля, подобрать координату в конце дня.

Ответы (1)

Как было указано в комментариях, не совсем понятно, как вы собираетесь указывать метрику без использования некоторого набора координат. Тем не менее, в нескольких распространенных текстах по GR есть нестандартные подходы к метрике Шварцшильда, которые могут показаться вам интересными.

  • Гравитация Мизнера, Торна и Уилера имеет довольно подробную врезку (вставка 23.3, «Строгий вывод сферически симметричного линейного элемента»), которая начинается с предположения о многообразии. М 4 на котором существует набор автоморфизмов, сохраняющих длину кривых, и какие автоморфизмы (рассматриваемые как группа) изоморфны С О ( 3 ) . Затем они показывают, как эти предположения приводят к естественному определению координат т и р в котором метрику можно считать диагональной. Обратите внимание, что это не относится к Шварцшильду, но может применяться к любой сферически-симметричной ситуации (даже к динамической, а не к статической).

  • Общая теория относительности Уолда использует ограниченную версию приведенного выше аргумента (предполагая статичность с самого начала), чтобы показать, как координаты т и р получаются из геометрических соображений. Затем он использует формализм ортонормированной тетрады (вместо более традиционного метода координатных компонент) для получения дифференциальных уравнений, которым должна удовлетворять метрика.

Да! Это было именно то, что я искал. Спасибо.
О сферической симметрии см. также теорему Биркгофа , ср. например, этот пост Phys.SE.
Вывод метрики Шварцшильда с использованием всего механизма дифференциальной геометрии [закрыто]
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v