Математическое строгое введение в физику твердого тела

В следующих книгах обсуждаются строгие методы физики твердого тела:

• "Ренормализационная группа" Г. Бенфатто и Г. Галлавотти, см . по этой ссылке .
• «Перенормировка: введение» М. Зальмхофера, см . по этой ссылке .
• «Фермионные функциональные интегралы и ренормализационная группа», Дж. Фельдман, Х. Кноррер и Э. Трубовиц, см. эту ссылку .
• «Непертурбативная перенормировка» В. Мастропьетро, ​​см. эту ссылку .

См. также курс Ривассо, прочитанный в школе CIME в Четраро, сентябрь 2010 г.

Проблема с такими книгами в том, что в физике твердого тела нет специальной математики. Есть книги с такими названиями, как «Квантовая теория поля в физике твердого тела» или подобные: современные методы в твердом теле происходят из КТП, квантовой химии и тому подобного. Таким образом, строгое введение может быть найдено там, а не в самом твердом состоянии.

Если бы вы могли указать конкретную тему, возможно, можно было бы ответить на ваш вопрос.

Вы можете задаться вопросом о стабильности материи в квантовой механике или попасть в ловушку беспорядка, чтобы изучить строгие аспекты локализации в неупорядоченных системах.

РЕДАКТИРОВАТЬ: 7 мая 2012 г.

Еще немного

• Математическая физика квантовых проводов и устройств: от спектральных резонансов к локализации Андерсона

• Спиновые очки: задача для математиков: модели полости и среднего поля

• Квантовые холловские системы: группы кос, составные фермионы и дробный заряд . Также в архиве

Во-первых, я хотел бы отметить, что физика твердого тела не похожа на квантовую механику или, может быть, КТП в том смысле, что вы можете сформулировать (почти) всю теорию в математической формулировке, начиная с набора аксиом и продолжая. В отрывке из последней ссылки мы можем прочитать следующее:

В то время как в смежных областях, таких как статистическая механика и атомная физика, многие ключевые проблемы легко формулируются в однозначной математической форме, это не так в физике конденсированных сред, где некоторые говорят, что строгость «вероятно невозможна и определенно не нужна». Тщательно отобрав наиболее важные вопросы и сформулировав их в виде четко определенных математических задач, а затем решив большое их количество, Либ продемонстрировал ошибочность цитируемого мнения по обоим пунктам. Однако верно то, что многие из этих проблем оказываются очень трудными. Нет ничего необычного в том, что на их решение уходит десятилетие (даже несколько десятилетий).

Теоретические разработки в области конденсированных сред, я думаю, в значительной степени мотивированы экспериментальными наблюдениями. Строятся феноменологические модели, которые со временем приобретают более строгую формулировку. Кроме того, мы строим модели, которые, по нашему мнению, могут объяснить наблюдения, причем каждая модель требует определенного типа математики. Как только мы можем объяснить приблизительные характеристики, мы включаем все больше и больше деталей. Всегда существует баланс между тем, что мы хотим воспроизвести, и тем, насколько проста (и поучительна) модель. Чем больше деталей, тем сложнее математическая модель, поэтому для нее все чаще требуется более сложная математика. Иногда нам нужна продвинутая математика с самого начала. Таким образом, вы, вероятно, не найдете единой математической обработки всего, но несколько моделей, разбросанных повсюду. Следовательно, Я думаю, что лучше всего сначала прочитать общие книги по полупроводниковым приборам, чтобы найти существующие проблемы, а затем выбрать модель, которая вам больше всего нравится. Далее представлен набор тем в рамках теории твердого тела и некоторые ссылки на наиболее строгие подходы, которые я нашел.

Математическая кристаллография:

• Геометрическая кристаллография: аксиоматическое введение в кристаллографию П. Энгеля. Подробнее здесь: http://blogs.iucr.net/crystalmath/2013/07/31/what-if-anything-is-mathematical-crystallography/ . О том, что сейчас интересно, читайте в этой статье .

Электронная структура:

Вы найдете множество математических моделей для игры, таких как теория Томаса-Ферми, ДПФ, жесткая связь, Хаббард, ...

• Введение в моделирование расширенных систем на основе первых принципов Фабио Финокки, Яцека Гоняковски, Ксавье Гонце, Чезаре Пизани. Справочник по численному анализу, Vol. Х, с. 377.
• Вычислительная квантовая химия: учебник Эрика Кансеса, Мирей Дефранчески, Вернера Кутцелнигга, Клода Ле Бри, Ивона Мадея, часть III, Справочник по численному анализу, Vol. Х, с. 3.
• Семинар для математиков: Летняя школа MSRI-LBNL 2016 по теории электронной структуры . Видеозаписи лекций доступны в Интернете.

Динамика решетки:

• Динамическая теория кристаллических решеток - М. Борн, К. Хуанг.

Сверхпроводимость:

Существуют феноменологические теории (теория БКШ, теория Гинзбурга-Ландау, ...), но еще нет устоявшейся теории. Исследователи пытаются использовать QFT для объяснения явлений.

• Введение в сверхпроводимость , Тинхэм.

Квантовый эффект Холла:

• Математические аспекты квантового эффекта Холла Юрга Фрёлиха.
• Квантование холловской проводимости для взаимодействующих электронов на торе , Мэтью Б. Гастингс, Спиридон Михалакис, Связи по математической физике, том 334, выпуск 1, стр. 433–471.

Топологические изоляторы:

Эта область все еще находится в зарождающемся состоянии, развивается и активно работает.

• Коллоквиум: Топологические изоляторы

Другой:

• Либ, Эллиотт Х. Физика конденсированного состояния и точно разрешимые модели . Selecta Эллиота Х. Либа. Под редакцией Б. Нахтергаэле, Дж. П. Соловей и Дж. Ингвасон. Springer-Verlag, Берлин, 2004. x+675 стр.

С точки зрения применения квантовой теории поля и топологической квантовой теории поля в физике твердого тела/конденсированных сред, это начинается с базовой установки (например, абелевой теории Черна-Саймонса, теории BF, относящейся к [дробно-] квантовому эффекту Холла, который вы упомянутых) к более продвинутым недавним темам о защищенных симметрией топологических (SPT) состояниях, топологически упорядоченных калибровочных теориях и топологически упорядоченных (SET) состояниях, обогащенных симметрией, следующие ссылки особенно доступны для математиков и математических физиков.

Вот две ссылки:

1. arxiv 1510.07698 Три лекции Виттена о топологических фазах материи, La Rivista del Nuovo Cimento, 39 (2016) 313-370

2. arxiv 1612.09298 -- Статистика плетения и инварианты связей бозонной/фермионной топологической квантовой материи в измерениях 2+1 и 3+1 Путров-Ванг-Яу , Annals of Physics 384C (2017) 254-287

Список новых топологических теорий поля и их топологических инвариантов организованы и изучены случаи за случаями в физическом, относящемся к физике твердого тела / конденсированного состояния 2 + 1 и 3 + 1 пространственно-временные измерения. например

Поэтому, если вы хотите строго понять Qhe и SC, вам действительно нужно обратиться к языку теории поля, и на эту тему есть много замечательных книг.

1. Теория поля конденсированного состояния Фрадклина Эта книга в основном связана с топологической теорией поля.

2. Альтланд и Саймонс по теории поля конденсированного состояния, так что это более мягкое введение, чем первая книга, также в инете есть конспекты лекций Саймонса, поэтому, если вы найдете что-то неясное в этой книге, перейдите к этим конспектам лекций.

эти две книги придали бы превосходную математическую строгость физике твердого состояния.

поверх них вы можете использовать

3. Вэнс много тела книга

это отличная, но очень трудная книга, потому что предполагается, что вы очень хорошо разбираетесь в QFT, поэтому сначала вы должны освоиться с qft, используя 2.

с точки зрения сложности порядок от самого сложного к легкому: 3 1 2.

эти три книги довольно стандартны в этой области, поэтому их должно быть более чем достаточно с точки зрения сверхпроводимости, квантового эффекта Холла и многого другого, хотя я не уверен насчет полупроводников.

MA Омар, Элементарная физика твердого тела , Addison-Wesley, 1993.