Основной вопрос — функции Грина в квантовой механике

Я пытаюсь узнать о функциях Грина в рамках моего обучения в аспирантуре, и у меня есть довольно простой вопрос о них:

В моих учебниках по математике и во многих местах в Интернете базовая функция Грина G для линейного дифференциального оператора L определяется как

л г "=" дельта ( Икс − Икс ′ )

что все хорошо и хорошо. Сейчас я читаю текст Эконому о ФГ в квантовой физике, где он переходит к определению функций Грина как решений неоднородного ДУ типа:

[ г − л ( р ) ] г ( р , р ′ ; г ) "=" дельта ( р − р ′ )

Где г "=" λ + я с и L - независимый от времени линейный эрмитов дифференциальный оператор, имеющий собственные функции ф н ( р )

л ( р ) ф н ( р ) "=" λ н ф н ( р )

Где эти λ н являются собственными значениями L. Откуда берется это z во втором уравнении и какова связь между этим и первым уравнением?

Редактировать: см. мой пост ниже для новой пары вопросов.

Помимо текста Econoumou, я рекомендую книги Supriyo Datta, особенно более раннюю «Электронный транспорт в мезоскопических системах».

Ответы (2)

г представляет собой частоту, формируемую преобразованием Фурье оси времени, она появляется, когда вы решаете уравнение Шредингера, зависящее от времени:

( я ∂ ∂ т − л ( Икс ) ) г ( Икс , т ; Икс ′ т ′ ) "=" дельта ( Икс − Икс ′ ) дельта ( т − т ′ )

Для независимых от времени л , г является функцией разности т − т ′ только вот ты пишешь:

г ( Икс ; Икс ′ ; г ) "=" ∫ − ∞ + ∞ е я г ( т − т ′ ) г ( Икс , т ; Икс ′ т ′ ) д т
.

Для запаздывающей функции Грина г р ( Икс , т ; Икс , т ′ ) "=" 0 если т < т ′ и интеграл сходится, если я м г > 0 . Для расширенной функции Green г А ( Икс , т ; Икс , т ′ ) "=" 0 если т > т ′ и интеграл сходится для я м г "=" с < 0 . Таким образом, резольвента г ( Икс ; Икс ′ ; г ) удобно кодирует оба :

г р / А ( Икс , т ; Икс ′ , т ′ ) "=" лим с → ± 0 1 2 π ∫ е − я г ( т − т ′ ) г ( Икс ; Икс ′ ; г ) д г
с + знак для отсталых, и − знак для расширенной функции Green. Для конечных систем г ( г ) аналитична на всей плоскости, за исключением дискретного набора особенностей на вещественной оси. Для бесконечной системы имеется разрез на действительной оси, соответствующий непрерывной части спектра.

Подстановка обратного преобразования в уравнение дает:

( г − л ( Икс ) ) г ( Икс ; Икс ′ ; г ) "=" дельта ( Икс − Икс ′ )

как в тексте Эконому.

Хорошо, это, кажется, следует за слайдами лекции и книгой немного более близко. В вашем первом уравнении мы не включаем часть производной по времени как часть оператора L, потому что мы хотим сохранить пространственную и временную части отдельно? В основном я понимаю, что единственная причина, по которой z существует, - это учет зависимости от времени? Например, в уравнении Пуассона нам нужно только решить л г "=" дельта ( Икс − Икс ′ ) , z нет, потому что в дифференциальном уравнении нет времени?? А это, в свою очередь, приводит к отсутствию собственных значений?
Вы должны хранить пространственную и временную части отдельно, потому что ваша функция Грина зависит от р и т . Поскольку у вас есть консервативная система, она зависит только от разницы во времени tt', и уравнение легко решить в частотной области. г . Уравнение Пуассона относится к электростатике, поэтому, очевидно, здесь нет зависимости от времени.
@Josh «единственная причина, по которой z существует, - это учет зависимости от времени» - да. В случае Пуассона вы используете GF, чтобы получить потенциал произвольного распределения заряда, в случае Шредингера вы получаете полный Икс и т зависимость волновой функции для произвольного начального условия.
Концепция одинакова для обоих случаев, но т добавляет дополнительное измерение с особой симметрией (инвариантность перевода во времени).
Большое спасибо, я думаю, что наконец-то понял это. Итак, для свободной частицы получаем резольвенту 1 / ( г − л ) которая также является нашей функцией Грина при использовании нотации Дирака ∑ н | ф н >< ф н | "=" 1 мы помещаем этот бит в числитель и получаем г "=" ∑ н | ф н >< ф н | г − λ . Для свободной частицы собственные значения равны к 2 / 2 м (Я предполагаю, что мы работаем в подразделениях, где ℏ "=" 1 что, в свою очередь, мы можем сказать г "=" Е ) означает, что мы имеем в результате г "=" 1 Е − к 2 2 м
@Джош Поздравляю! :) Не забудьте «принять» ответ, который вы считаете наиболее полезным.

г е С является комплексным параметром или, если хотите, спектральным параметром. Когда г е С ∖ С п е с ( л ) не входит в спектр оператора л , то оператор л − г я обратима, и мы можем составить резольвенту ,

( л − г я ) − 1 .
Итак, Эконому вводит 1 -параметрическое семейство ( г ( г ) ) г е С функций Грина. Когда г "=" 0 , второе уравнение в вопросе (v1) сводится к первому уравнению (если мы игнорируем другое соглашение о знаках и другие обозначения).

Спасибо за быстрый ответ. Итак, если я правильно понимаю, спектр L — это просто набор его собственных значений ( λ н в этом случае). Когда г "=" / "=" λ н тогда можно инвертировать л − г которая определяется как резольвента? Эта резольвента аналитична везде, где z не входит в спектр оператора L? Когда/почему мы когда-либо устанавливали z=0 и что именно это означает, только одно собственное значение?
@Josh «Эта резольвента является аналитической везде, где z не находится в спектре L?» - Да, это. «Когда бы мы когда-нибудь установили z = 0» - никогда, если мы решаем уравнение Шредингера, а не, например, Пуассона.
Основной вопрос — функции Грина в квантовой механике
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v