Спектральные свойства в физике твердого тела

любая собственная функция этого оператора Шредингера автоматически периодична с периодом потенциала, верно ли это?

Нет!! Собственные функции представляют собой блоховские волны$\psi(x) = u(x)e^{ikx}$, где$u$является периодическим (с периодом решетки). Но продукт$\psi$не является периодическим (с периодом решетки), если только$k=0$. Недавно я привел пример в Википедии:

Блоховскую волну (внизу) можно разбить на произведение периодической функции (вверху) и плоской волны (в центре). Левая и правая стороны представляют одну и ту же блоховскую волну, разбитую двумя разными способами, включая волновой вектор k1 (слева) или k2 (справа). Разность (k1−k2) представляет собой вектор обратной решетки. На всех графиках синий — действительная часть, а красный — мнимая часть.

Я сделал этот график главным образом, чтобы показать, почему$k$неоднозначно, что не имеет отношения к вашему вопросу. Но если вы просто посмотрите на нижний ряд, вы увидите, что волны Блоха не являются периодическими с периодом потенциала.

Вот глупый пример. В вакууме,$V(x)=0$, который является (тривиально) периодическим с периодом 1 нанометр (я мог бы указать здесь любое другое расстояние). Но его собственные энергетические состояния представляют собой плоские волны, которые, как правило, не являются периодическими с периодом 1 нанометр.

мы просто называем эти вещи полосами, поскольку k становятся настолько близкими, что мы не можем действительно определить дискретную структуру?

Да, в самом деле! Макроскопический кристалл может иметь$10^{20}$допустимые значения$k$, равномерно распределенные в первой зоне Бриллюэна. Поэтому мы можем и должны думать об этом как о гладкой кривой или поверхности, а не как о дискретных точках.

... Есть ли какая-то связь между задачей конечного интервала и проблемой бесконечного интервала или это две совершенно разные вещи?

Для бесконечного интервала существуют$\infty$допустимые значения$k$, а не просто$10^{20}$. Таким образом, полосы становятся буквально гладкими кривыми или поверхностями, а не эффективно гладкими кривыми или поверхностями. Кроме этого, все то же самое.

...если мы не примем граничные условия Борна фон Кармана...

... тогда обычно собственные состояния не могут быть записаны как$u(x)e^{ikx}$. В 1D наиболее реалистичные (непериодические) граничные условия дадут вам суперпозицию состояния с$+k$и государство с$-k$, чтобы сформировать стоячую волну вместо бегущей волны:$\psi(x) = A u_1(x)e^{ikx} + B u_2(x)e^{-ikx}$где$A$и$B$являются комплексными числами, и оказывается, что$u_1=u_2^*$. Опять же, это$\psi$не имеет$k$так, как вы привыкли.

Это меняет структуру группы? Что вообще означает «полосная структура», если мы не говорим о блоховских состояниях? Я полагаю, что ответ таков: термин «полосная структура» является сокращением от «полосной структуры, предполагающей граничные условия Борна фон Кармана», и если ваши граничные условия отличаются, то вы должны иметь в виду, что для вас ленточная структура не является прямой каталог разрешенных состояний и энергий, это шаг в сторону от него. (Но это всего лишь небольшой и простой шаг.) :-D

Тогда возможен случай, когда такой оператор определен на полном интервале

Я предполагаю, что под «полным интервалом» вы подразумеваете всю реальную линию.

Первый вопрос: Нужны ли нам тогда какие-либо граничные условия?

Да, как заметил Сэм Бейдер, граничные условия являются частью гамильтониана.

В моей лекции по физике мы использовали так называемые граничные условия Борна фон Кармана... чтобы «доказать» теорему Флоке или Блоха.

Действительно, теорема Блоха требует трансляционной симметрии. Если вы ограничиваете свою область некоторым конечным интервалом, то такая симметрия достигается только с периодическими граничными условиями.

Но когда вашей областью является вся реальная линия, нет необходимости накладывать специальные граничные условия для достижения трансляционной симметрии: достаточно обычного условия ограниченности решения. См., например, частный случай — гамильтониан свободной частицы: он требует, чтобы решение было ограничено на бесконечности, и этого достаточно, чтобы получить решение в виде плоских волн. И она обладает трансляционной симметрией, поэтому сохраняет квазиимпульс (который в данном случае совпадает с импульсом, поскольку период этой симметрии сколь угодно мал).

Мне почему-то кажется, что эти граничные условия Борна фон Кармана не нужны в том смысле, что любая собственная функция этого оператора Шредингера автоматически периодична с периодом потенциала, верно ли это?

Это неправильно и правильно объяснено Стивом Б.

Моя проблема с условиями Борна фон Кармана заключается в том, что я обнаружил, что они на самом деле не являются граничными условиями, поскольку они не действуют на какую-либо границу. А как быть с доменом такого оператора?

Они действуют на границах домена: если ваш конечный домен$[a,b]$, то у вас есть

Именно об этом говорят условия Борна — фон Кармана. Если вы попытаетесь реализовать эти условия в матричном представлении вашего оператора кинетической энергии, вы получите циркулянтную матрицу , которая явно показывает трансляционную симметрию. (Попробуйте поиграть с аппроксимацией конечных разностей оператора кинетической энергии, вы сразу это увидите).

В моей лекции по физике мы заметили, что из-за этих условий Борна фон Кармана возможные k для задачи (появляющиеся в экспонентах) дискретны. Не уверен, что это выполняется автоматически, даже если мы не принимаем граничные условия Борна фон Кармана?

В самом деле, даже если вы не берете граничные условия Борна — фон Кармана, а вместо этого берете, например, однородные граничные условия Дирихле или Неймана, вы получите дискретный спектр. Это результат конечности области и общая черта проблемы Штурма-Лиувилля .

Затем мы сказали, что для каждого k операторное уравнение Шредингера, которое вы получаете путем добавления в анзац из теории Блоха или Флоке, имеет дискретный спектр. Это правда?

Опять же, это верно, пока у вас конечный домен. А теорема Блоха имеет непосредственный смысл только при наличии трансляционной симметрии, т.е. в данном случае с граничными условиями Борна — фон Кармана.

Если да, то какое отношение все это имеет к полосам, если все так хорошо дискретно? - Или мы просто называем эти вещи полосами, поскольку k становятся настолько близкими, что мы не можем на самом деле определить дискретную структуру?

Непрерывные полосы появляются, когда мы берем предел размера кристалла$L\to\infty$(т.е. довести количество ячеек решетки до бесконечности). В этом пределе условия Борна — фон Кармана как раз автоматически переходят в условия ограниченности решения на бесконечности, и по мере увеличения числа ячеек решётки спектр становится всё более плотным (т. е. дискретные уровни, соответствующие некоторым$k$сближаются все ближе и ближе друг к другу по мере увеличения их числа), а в пределе$L\to\infty$он становится непрерывным.

Обратите внимание, что в бесконечной области вы не можете применять условия Борна — фон Кармана — нет смысла говорить$f(-\infty)=f(+\infty)$, например, поэтому вы используете естественные условия ограниченности.

Это приближение к реальному кристаллу, в котором существует огромное количество атомов во всех (или некоторых, например, для графена) направлениях, так что мы действительно можем просто предположить, что оно бесконечно в первом приближении.

В реальных кристаллах спектральные линии настолько плотны, что их действительно нельзя разрешить — но это не только из-за приборов: это из-за естественного уширения спектральных линий: неопределенность энергии уровня из-за конечного времени жизни из-за спонтанного эмиссия.

Есть ли какая-то связь между задачей конечного интервала и проблемой бесконечного интервала или это две совершенно разные вещи?

Да, связь такая, как я отметил выше: через лимит. Однако появляются некоторые тонкие различия, такие как тот факт, что собственные функции в бесконечной области становятся ненормируемыми, а спектр становится непрерывным, но физически он все еще очень похож. Опять же, вы можете поиграть с приближением пустой решетки (т. е. гамильтонианом с постоянным потенциалом), чтобы лучше понять свойства этих проблем.

Хорошо, что вы рассматриваете подобные вопросы; Я считаю, что этот тип вопросов действительно побуждает студента к более глубокому пониманию математики.

Нужны ли нам тогда какие-либо граничные условия?

Да, граничные условия следует рассматривать как часть определения гамильтониана и его области определения. Различные граничные условия могут привести к различным собственным функциям/собственным значениям.

Мне почему-то кажется, что эти граничные условия Борна фон Кармана не нужны в том смысле, что любая собственная функция этого оператора Шредингера автоматически периодична с периодом потенциала, верно ли это?

Нет, даже с условиями BvK это неверно (примеры см. в ответе Steve B). Что верно, так это то, что (с BvK) волновая функция периодична с точностью до$e^{ikx}$фаза. Без BvK ни одно из этих утверждений не обязательно верно.

В таком случае: зачем нам нужны граничные условия Борна фон Кармана? Моя проблема с условиями Борна фон Кармана заключается в том, что я обнаружил, что они на самом деле не являются граничными условиями, поскольку они не действуют на какую-либо границу.

Пара вещей:

1. Надежда в физике твердого тела состоит в том, что если у вас есть достаточно большая область и вы вычисляете объемные свойства, то края образуют крошечную часть вашей системы по сравнению с объемом, и поэтому результаты не должны сильно зависеть от того, какие граничные условия вы выбираете.

2. BvK — граничные условия: они говорят, что волновая функция на левой границе пространства такая же, как волновая функция на правой границе пространства.

3. BvK полезны, потому что они сохраняют дискретную трансляционную симметрию потенциала [перевести на$a$и ничего не происходит]. Это симметрия, которую представляют волны Блоха, и если вы выберете граничные условия, которые не сохраняют эту симметрию, то у вас не будет решений, отражающих эту симметрию.

   • Если бы вы взяли какой-то другой набор граничных условий, например, волновая функция стремится к нулю на обеих бесконечностях, то ваши собственные функции (если они существуют) не были бы волнами Блоха. Они могут быть очень похожи на волны Блоха в некоторой конечной области, но в какой-то момент должны исчезнуть. По определению, блоховские волны имеют одинаковую норму в каждой элементарной ячейке.
   • BvK предоставляет вам удобно нормализуемые собственные функции, поскольку ваше пространство конечно. Вам не нужно беспокоиться об интегрировании до бесконечности для несвязанных состояний и взрыве нормы.

В моей лекции по физике мы заметили, что из-за этих условий Борна фон Кармана возможные k для задачи (появляющиеся в экспонентах) дискретны. Не уверен, что это выполняется автоматически, даже если мы не принимаем граничные условия Борна фон Кармана? Правда, это не особенность БвК. Если бы вы спроектировали задачу так, чтобы периодическая решетка на самом деле была большой, но конечной, и взяли граничные условия, стремящиеся к нулю на бесконечности, то вы бы обнаружили дискретный спектр связанных состояний в области решетки, который выглядит примерно как блоховские состояния глубоко в решетке. но потом отваливаются по краям. (Я предполагаю, что потенциал решетки достаточно силен, чтобы иметь связанные состояния). Это, конечно, более реалистичный случай, чем БвК, так как материалыконечно в реальном мире... но вы этого не делаете, потому что решение собственных функций стало довольно смешным.

Затем мы сказали, что для каждого k операторное уравнение Шредингера, которое вы получаете путем добавления в анзац из теории Блоха или Флоке, имеет дискретный спектр. Это правда? Если да, то какое отношение все это имеет к полосам, если все так хорошо дискретно? - Или мы просто называем эти вещи полосами, поскольку k становятся настолько близкими, что мы не можем на самом деле определить дискретную структуру?

Точно. Если у нас есть хорошо разделенные невырожденные полосы, то самая нижняя «полоса» - это набор {для каждого k возьмите наименьшее собственное значение}. Вторая нижняя полоса тогда {для каждого k, возьмите второе самое низкое собственное значение}. И т. д. Поскольку допустимые k настолько близки, что практически неразрешимы, каждая полоса выглядит как континуум состояний.