Я подумал, что было бы забавно создать базовую симуляцию возврата первой ступени Falcon 9 компании SpaceX, но мне было интересно, какие математические расчеты используются для выполнения чего-то подобного. Глядя на эту страницу: http://en.wikipedia.org/wiki/Trajectory_of_a_projectile , есть хорошее уравнение для расчета расстояния, которое покроет снаряд, но оно основано на плоской земле, постоянном гравитационном ускорении и отсутствии сопротивления. . Более того, использование этой формулы также подразумевало бы мгновенное изменение дельта-v, чтобы она была точной (если только мы не пересчитаем каждую секунду или около того во время работы двигателя, чтобы получить более точный результат), что также довольно нереально, учитывая задействованные временные масштабы.
Итак, мой вопрос таков: если мы рассмотрим первую ступень Falcon 9 как точечную массу, чтобы нам не нужно было беспокоиться о динамике ориентации с 6 степенями свободы, а также смотреть только на 2 измерения вместо того, чтобы беспокоиться о 3D сферической Земли, какие уравнения будут использоваться для точного расчета требуемого времени горения, необходимого для того, чтобы первая ступень Falcon 9 находилась в пределах нескольких километров от намеченной цели на поверхности, принимая во внимание атмосферное сопротивление и круглую Землю. Любые ссылки на информативные веб-сайты, посвященные чему-то подобному, или научные статьи будут очень признательны. Спасибо!
Вы действительно хотите разбить свое исследование на несколько проектов. Я собираюсь предположить, что у вас есть математические и физические знания. В противном случае их получение — задача №0.
Во-первых, вы хотите построить интегратор Рунге-Кутты, который будет численно интегрировать систему дифференциальных уравнений от вектора состояния начального состояния до произвольного момента времени.
Во-вторых, вы хотите вывести уравнения движения вашего автомобиля. Я бы начал с простого сброса неконтролируемой массы с некоторой начальной скоростью.
В-третьих, внедрите выбранную вами систему управления в систему уравнений.
Наконец, используйте теорию оптимального управления, чтобы минимизировать функцию стоимости выбора (возможно, минимизировать необходимое топливо?).
Нет, это не обязательно простые вещи. Но важные вещи редко бывают.
В главе 3 текста Хикса « Введение в астродинамический вход в атмосферу » дается обзор вывода уравнений движения при входе в атмосферу. Текст можно найти по этой ссылке , а также содержит введение в методы управления входом в атмосферу, такие как аэродинамическое торможение. Уравнения поступательного входа в атмосферу представляют собой сильно связанные нелинейные обыкновенные дифференциальные уравнения, для решения которых требуются численные процедуры (например, интеграторы RK), если только не сделаны некоторые очень упрощающие предположения (например, плоский вход, постоянные углы крена и т. д.). Эта ссылка на FAA.gov также содержит обсуждение повторного входа с использованием формулировки компромисса между кинетической и потенциальной энергией, что также может быть хорошим способом начать думать о вашем проекте.
О системе наведения лунных кораблей «Аполлон» написано довольно много; те же принципы применимы к любой посадке с двигателем, хотя вы должны добавить атмосферное сопротивление в свою модель для посадки на Землю.
Уравнения, представленные в разделе «Теория механизированного управления при спуске» на этой странице , являются ключом к одновременному обнулению дельт положения и скорости (что вам и нужно для точной мягкой посадки).
Заметки Роберта Бреунига о его моделировании LM также потенциально полезны.
Вы не сталкиваетесь с математической проблемой, на самом деле это физика. Математика — лишь один из необходимых инструментов. Также нужны дрэг-модели (аэродинамика)
И реально это решается численными методами. Вы рассчитываете временной ряд x[t], y[t], vx[t], vy[t], Fx[t], Fy[t], m[t]для каждого временного шага dt. Это заменяет вычисление соответствующих дифференциальных уравнений и интегралов.
Я бы сделал это как численное моделирование и планировал иметь временной шаг в миллисекунду или меньше. Любой современный процессор должен уметь выполнять все уравнения для каждого шага в худшем случае за несколько миллисекунд, поэтому он должен работать в режиме реального времени (или, как я предполагаю, намного быстрее).
Сначала вам нужно выполнить тягу и сопротивление, чтобы получить силы, затем использовать массу на этом временном шаге, чтобы получить ускорение, использовать его для обновления вектора скорости, а затем использовать его для обновления вектора положения.
Я предполагаю, что сферическая земля размывается, поскольку вы находитесь вне ее и можете рассматривать ее как точечную массу в центре.
Таким образом, чтобы получить тягу, вам нужно рассчитать базовую тягу двигателя, а затем какой процент от нее вы используете на каждом временном шаге. Атмосферное сопротивление будет направлено в направлении, противоположном вектору скорости, и будет в основном представлять собой некоторую постоянную сопротивления, умноженную на площадь проекции, умноженную на квадрат скорости относительно воздуха. (Да, лобовое сопротивление — это явление в квадрате V). Гравитационное сопротивление будет постоянным. Исходя из этого и массы во временном интервале, вы сможете получить ускорение.
Начните с момента взлета с вектором местоположения и вектором скорости, равными нулю, а затем выполняйте каждый временной шаг и проверяйте, что результаты выглядят правдоподобно.
ЛюбознательныйИсследователь
Эрик
Эрик
Рассел Борогов
Эрик