Места деструктивной интерференции для двух сферических волн

Я посмотрел на это , но это не помогло с местами . На самом деле все сводится к математическим манипуляциям, которых я почему-то не вижу. Вот моя перефразированная установка:

Рассмотрим два источника света, разнесенные на некоторое расстояние.$a$, и предположим, что они излучают равномерно во всех направлениях, с одной и той же угловой частотой и одним и тем же волновым числом. Определите места на плоскости, параллельной линии, соединяющей два источника света, в которых интенсивность минимальна.

Это то, что у меня есть. Позволять$r_1$обозначают расстояние от первого источника до точки на экране,$r_2$для второго источника в точку, а$L$— расстояние от середины зарядов до экрана. Рассмотрим какой-то момент$p = (y,z)$на экране. Полагая, что ось x ортогональна экрану, а ее начало находится в средней точке, а оси y и z параллельны экрану, мы можем написать

$$r_1 = \sqrt{L^2+y^2+(z-a/2)^2} \space\space\space \text{&} \space\space\space r_2 = \sqrt{L^2+y^2+(z+a/2)^2}$$ Отсюда мы знаем, что можем записать полную волну в точке$p$как $$E(t) = e^{iwt}(E_1e^{ikr_1}+E_2e^{ikr_2})$$ Я пока не заменяю для ясности и отмечаю, что$E_1$и$E_2$– амплитуды соответствующих волн. Теперь мы также знаем, что интенсивность в этой точке имеет следующую зависимость:$I \propto |E|^2$, и мы знаем сверху, что

$$|E|^2 = E_1^2+E_2^2+2E_1E_2cos\biggl[k\Bigl(\sqrt{L^2+y^2+(z-\frac{a}{2})^2}-\sqrt{L^2+y^2+(z+\frac{a}{2})^2}\Bigr)\biggr]$$

Если до этого момента все было правильно, то ясно, что места с минимальной интенсивностью возникают, когда этот косинус минимален. А именно, когда

$$\sqrt{L^2+y^2+(z-\frac{a}{2})^2}-\sqrt{L^2+y^2+(z+\frac{a}{2})^2} = \frac{(2n+1)\pi}{k} \space\space n \in \mathbb{Z}$$

Однако я не могу представить это в удобной упрощенной форме для z как функции y. Я подозреваю, что это гиперболическая связь, но есть ли хороший способ свести ее к компактной форме?