Эксперимент Янга «двойная двойная щель»

Question

Эксперимент Янга «двойная двойная щель»

оптика
Физика
вмешательство
двухщелевой эксперимент
домашнее задание и упражнения

Претендент

Установка показана на изображении выше. Найти интенсивность на экране как функцию $y$ , и $I_0$ , где $I_0$ – интенсивность центральных максимумов.

Я понимаю, что плоский волновой фронт, падающий на первую пару щелей, приводит к двум цилиндрическим волновым фронтам, которые интерферируют на второй паре щелей. После этого я немного потерялся. Возникают ли еще два цилиндрических волновых фронта с амплитудой и фазой, которые вызывает первая интерференция? Как можно найти интенсивность?

Кроме того, что подразумевается под «центральными максимумами»? Если во второй паре щелей устроены два цилиндрических волновых фронта, я не понимаю, почему обязательно должны быть максимумы в центре. Относится ли этот термин просто к точке, где разность фаз равна нулю?

Например, если плоский волновой фронт не падает нормально на пару щелей, и это приводит к отсутствию максимумов на оси симметрии, будем ли мы называть точку с нулевой разностью фаз центральными максимумами, или мы будем говорить, что центральные максимумы не существуют?

Ответ на проблему есть

я_{0} {потому что}^{2} (\frac{2 π}{λ} \frac{д_{1} д_{2}}{Д_{1}}) {потому что}^{2} (\frac{2 π}{λ} \frac{д_{2} у}{Д_{2}})

$I_0\cos^2\left(\frac{2\pi }{\lambda}\frac{d_1d_2}{D_1}\right)\cos^2\left(\frac{2\pi }{\lambda }\frac{d_2 y}{D_2}\right)$

Кксен

Можете ли вы дать ссылку, откуда вы взяли этот вопрос, особенно ответ?

Претендент

@KamKahSen Это из Pathfinder, индийской олимпиадной книги по физике.

Ответы (1)

Эксперимент Янга «двойная двойная щель»

Можете ли вы дать ссылку, откуда вы взяли этот вопрос, особенно ответ?
@KamKahSen Это из Pathfinder, индийской олимпиадной книги по физике.

пользователь 200143 · Answer 1

Существуют различные предположения и приближения, которые, вероятно, изложены в тексте до того, как задача была поставлена. Щели аппроксимируются как источники исходящих волн той же длины волны с величиной, не зависящей от направления входящих или исходящих волн. В этом случае, принимая пунктирную линию за $y=0$ , и $y$ как положение измерения на правом экране, есть четыре возможных пути, по которым свет может пройти, чтобы достичь экрана. Это

от верхней левой щели до верхней правой щели до экрана с длиной пути $\ell_1+\ell_3$ ,
от верхней левой щели до нижней правой щели до экрана с длиной пути $\ell_2+\ell_4$ ,
нижняя левая щель к верхней правой щели к экрану с длиной пути $\ell_2+\ell_3$ ,
нижняя левая щель к нижней правой щели к экрану с длиной пути $\ell_1+\ell_4$ ,

откуда геометрия

\begin{array}{rcl} ℓ_{1} & "=" & \sqrt{\frac{(д_{2} - д_{1})^{2}}{4} + Д_{1}^{2}} \\ ℓ_{2} & "=" & \sqrt{\frac{(д_{2} + д_{1})^{2}}{4} + Д_{1}^{2}} \\ ℓ_{3} & "=" & \sqrt{\frac{(д_{2} - 2 у)^{2}}{4} + Д_{1}^{2}} \\ ℓ_{4} & "=" & \sqrt{\frac{(д_{2} + 2 у)^{2}}{4} + Д_{1}^{2}} . \end{array}

$\begin{eqnarray} \ell_1 &=& \sqrt{\frac{(d_2-d_1)^2}{4}+D_1^2} \\ \ell_2 &=& \sqrt{\frac{(d_2+d_1)^2}{4}+D_1^2} \\ \ell_3 &=& \sqrt{\frac{(d_2-2y)^2}{4}+D_1^2} \\ \ell_4 &=& \sqrt{\frac{(d_2+2y)^2}{4}+D_1^2} \,. \end{eqnarray}$ Тогда амплитуда на экране пропорциональна

А \propto е^{я \frac{2 π}{λ} (ℓ_{1} + ℓ_{3})} + е^{я \frac{2 π}{λ} (ℓ_{2} + ℓ_{4})} + е^{я \frac{2 π}{λ} (ℓ_{2} + ℓ_{3})} + е^{я \frac{2 π}{λ} (ℓ_{1} + ℓ_{4})}

$\begin{equation} A \propto e^{i\frac{2\pi}{\lambda}(\ell_1+\ell_3)} + e^{i\frac{2\pi}{\lambda}(\ell_2+\ell_4)} + e^{i\frac{2\pi}{\lambda}(\ell_2+\ell_3)} + e^{i\frac{2\pi}{\lambda}(\ell_1+\ell_4)} \end{equation}$ а интенсивность есть величина квадрата амплитуды

я "=" | А |^{2} \propto {потому что}^{2} \frac{2 π}{λ} \frac{ℓ_{2} - ℓ_{1}}{2} {потому что}^{2} \frac{2 π}{λ} \frac{ℓ_{3} - ℓ_{4}}{2} .

$\begin{equation} I = |A|^2 \propto \cos^2\frac{2\pi}{\lambda}\frac{\ell_2-\ell_1}{2} \cos^2\frac{2\pi}{\lambda}\frac{\ell_3-\ell_4}{2} \,. \end{equation}$

Чтобы аппроксимации щелей, приведенные выше, были действительными, расстояние между щелями должно быть небольшим по сравнению с расстояниями. Так $D_1,D_2 \gg d_1,d_2$ , и извлечение квадратного корня

\begin{array}{rcl} ℓ_{1} "=" Д_{1} + \frac{(д_{2} - д_{1})^{2}}{8 Д_{1}} + . . . \\ ℓ_{2} "=" Д_{1} + \frac{(д_{2} + д_{1})^{2}}{8 Д_{1}} + . . . \\ ℓ_{3} "=" Д_{2} + \frac{(д_{2} - 2 у)^{2}}{8 Д_{2}} + . . . \\ ℓ_{4} "=" Д_{2} + \frac{(д_{2} + 2 у)^{2}}{8 Д_{2}} + . . . \end{array}

$\begin{eqnarray} \ell_1 = D_1+\frac{(d_2-d_1)^2}{8D_1}+... \nonumber\\ \ell_2 = D_1+\frac{(d_2+d_1)^2}{8D_1}+... \nonumber\\ \ell_3 = D_2+\frac{(d_2-2y)^2}{8D_2}+... \nonumber\\ \ell_4 = D_2+\frac{(d_2+2y)^2}{8D_2}+... \end{eqnarray}$ так что

\begin{array}{rcl} \frac{ℓ_{2} - ℓ_{1}}{2} "=" \frac{д_{2} д_{1}}{4 Д_{1}} + . . . \\ \frac{ℓ_{3} - ℓ_{4}}{2} "=" \frac{д_{2} у}{2 Д_{2}} + . . . \end{array}

$\begin{eqnarray} \frac{\ell_2-\ell_1}{2} = \frac{d_2d_1}{4D_1} +... \nonumber\\ \frac{\ell_3-\ell_4}{2} = \frac{d_2y}{2D_2} +... \end{eqnarray}$ Это дает

я \propto {потому что}^{2} (\frac{2 π}{λ} \frac{д_{1} д_{2}}{4 Д_{1}}) {потому что}^{2} (\frac{2 π}{λ} \frac{д_{2} у}{2 Д_{2}})

$\begin{equation} I \propto \cos^2\left (\frac{2\pi}{\lambda} \frac{d_1d_2}{4D_1}\right) \cos^2\left (\frac{2\pi}{\lambda} \frac{d_2y}{2D_2}\right) \end{equation}$ Максимум находится на

y = 0

$y=0$ , что обычно называют центральным максимумом. Вызов этого

I_{0}

$I_0$ , результат

я "=" я_{0} {потому что}^{2} (\frac{2 π}{λ} \frac{д_{2} у}{2 Д_{2}}) .

$\begin{equation} I = I_0 \cos^2\left (\frac{2\pi}{\lambda} \frac{d_2y}{2D_2}\right) \,. \end{equation}$ Я, возможно, сделал множитель 2 ошибок, и мне лень проверять, но все же мне кажется, что ответ, который вы даете, ошибочен и не должен включать в себя первый

\cos^{2}

$\cos^2$ срок

Может быть, мы получим два $\cos^2$ членов, если предположить, что центральные максимумы равны $y=0$ на первой паре щелей? Кроме того, не могли бы вы проверить свою работу? Ошибки в этой книге очень редки.
Да, мы можем получить этот срок, если это ситуация, о которой вы упомянули. Только что скачал книгу и проверил, центральный максимун относится к тому, что на первом скрине.
Мой краткий расчет в основном такой же, как и для user2000143. Не уверен, что пошло не так.
@KamKahSen Книга хорошо известна своими неинтуитивными и нестандартными задачами. Может быть, мы что-то упускаем.
Да, есть большая вероятность, что это так, спасибо за напоминание.

Эксперимент Янга «двойная двойная щель»

Претендент

Кксен

Претендент

Ответы (1)

пользователь 200143

Претендент

Кксен

Кксен

Претендент

Кксен

Закрытие самой центральной щели N-щелевой дифракционной решетки - что происходит?

Правильна ли формула для нахождения расстояния между двумя щелями в моих книгах?

Как ширина щели связана с интенсивностью проходящего через нее света?

Интенсивность двойной щели Янга

Почему в эксперименте с двумя щелями всегда есть яркая полоса под нулевым углом?

Почему двухщелевой эксперимент со звуковыми волнами никогда не приводит к полной деструктивной интерференции?

Наклонный экран в эксперименте Янга с двумя щелями

Дифракционная картина без щели

Физика Проблема двойной щели Юнга

Какова интуитивная причина коэффициента 4 в уравнении интенсивности для двух щелей Фраунгофера?