Закрытие самой центральной щели N-щелевой дифракционной решетки - что происходит?

Я думаю, что решил это.

Без закрытия щели имеем обычную дифракцию:

$$u = u_0 e^{i(kz-\omega t)} \space \frac{1- e^{iN\delta}}{1- e^{i\delta}} = u_0 e^{i(kz-\omega t)} e^{i(\frac{N}{2}\delta - \frac{\delta}{2})} \frac{\sin \left(\frac{N\delta}{2}\right)}{\sin \left( \frac{\delta}{2}\right)}$$

После закрытия щели мы просто имеем:

$$u = u_0 \left[e^{i(kz-\omega t)} e^{i(\frac{N}{2}\delta - \frac{\delta}{2})} \frac{\sin \left(\frac{N\delta}{2}\right)}{\sin \left( \frac{\delta}{2}\right)} \space - \space e^{i(\frac{N\delta}{2})}\right]$$

Интенсивность определяется$I \propto uu^*$:

$$I = I_0 \left[ \frac{\sin^2 \left( \frac{N\delta}{2} \right)}{\sin^2\left(\frac{\delta}{2}\right)} \space -2 \cos\left(\frac{N\delta}{2}\right) \frac{\sin \left( \frac{N\delta}{2} \right)}{\sin \left(\frac{\delta}{2}\right)} + 1 \right]$$

Найти$I_0$, просто подставьте в$\delta=0$. Мы знаем, что центральная интенсивность пропорциональна$N^2$где$N$это количество щелей, поэтому мы ожидаем$I_0=(N−1)^2$здесь.

Замена$\delta=0$, у нас есть$I\propto (N^2−2N+1)=(N−1)^2$, так что доволен!

Предполагая, что волна нормализована,

$$I = (N-1)^2 \left[ \frac{\sin^2 \left( \frac{N\delta}{2} \right)}{\sin^2\left(\frac{\delta}{2}\right)} \space -2 \cos\left(\frac{N\delta}{2}\right) \frac{\sin \left( \frac{N\delta}{2} \right)}{\sin \left(\frac{\delta}{2}\right)} + 1 \right]$$

Максимумы все еще происходят в$d \sin\theta=n\lambda$, с интенсивностью$(N−1)^2$.

Минимумы теперь происходят в$\frac{N\delta}{2}=\frac{n\pi}{2}$. Так что минимумы на$d\sin\theta= \frac{n}{N}\frac{λ}{2}$.

Сравнивая это с непокрытой ситуацией, мы имеем$\delta \theta \space ' = \frac{1}{2} \delta \theta$.