Метрика многообразия, расслоенного на максимально симметричное подмногообразие

Я читаю последнюю главу (решение Шварцшильда и черные дыры) заметок Шона Кэролла по GR ( http://arxiv.org/abs/gr-qc/9712019 ).

Говоря о сферической симметрии, он говорит, как можно использовать теорему Фробениуса для расслоения многообразия со сферической симметрией со сферами в каждой точке. Это позволяет нам разбить координаты n-мерного многообразия на$u^i$для подмногообразия и$v^I$чтобы сказать нам, на каком подмногообразии мы находимся. (Если подмногообразие рассматривается в m мерном,$i$работает от 1 до m, и$I$от 1 до нм).

У меня проблемы с пониманием утверждения после этой конструкции, т.е.

Если подмногообразие максимально симметрично, то можно выбрать$u$координаты такие, что метрика многообразия равна

$$ds^2=g_{IJ}(v)dv^{I}dv^{J}+f(v)\gamma_{ij}du^i du^j$$

Интуитивно, как я могу увидеть следующее:

1. Почему максимально симметричное условие? Что пойдет не так, если он не максимально симметричен?

2. я понимаю почему$f(v)$должно быть просто функцией$v$, потому что, если я сохраню$v^I$постоянной и пройти по подмногообразию, связанному с этой точкой, метрика должна быть инвариантной.

Но я действительно не понимаю, почему$g_{IJ}$должно быть только функцией$v$, мы не останемся на том же подмногообразии при изменении$v$.

1. Почему нет перекрестных терминов$dv^I du^j$? Кэролл говорит, что это делается путем «удостоверения».$\frac{\partial}{\partial v^I}$ортогональны касательным векторам подмногообразия. Вы можете остановиться на этом? Почему это всегда возможно?

Я не ищу подробных математических аргументов, достаточно помахать рукой. Но, конечно, было бы более чем замечательно, если бы было предусмотрено и то, и другое.