Микроканонический ансамбль, эргодичность и нарушение симметрии

Во-первых, я настоятельно советую вам прочитать разделы 24 и 25 отличной книги Толмена по статистической механике . Мой ответ будет в основном соответствовать тому, что есть в книге.

Эргодическая гипотеза утверждает, что система в конечном итоге через некоторый интервал времени$T$посетить все состояния, совместимые с данным энергетическим ограничением. Как вы сказали, это подразумевает эквивалентность между микроканоническим средним по ансамблю и средним по времени.

Эта гипотеза была выдвинута Больцманом и Максвеллом в попытке дать физическое (нестатистическое) обоснование статистической механике. Причина в том, что статистическая механика дала бы способ вычислить средние значения величин во времени, которые, в свою очередь, связаны со средними значениями для многих повторений эксперимента. Тогда, если бы эргодическую гипотезу можно было обосновать законами классической механики, статистической механике не нужно было бы вводить никаких дополнительных постулатов (постулат равновероятности или максимума энтропии).

Теперь мы знаем, что эргодическая гипотеза ошибочна по двум причинам:

1. Классическая механика показывает, что системы исследуют не все фазовое пространство, соответствующее заданному энергетическому ограничению, а только его часть. Траектории могут быть очень большими, но не проходят мимо каждой точки. Существует квантовая версия этого утверждения.

Однако, если мы позволим небольшим возмущениям из окружающей среды воздействовать на систему, что-то вроде эргодичности может стать истинным. Это предположение реалистично, поскольку ни одна система не может быть полностью изолирована. Возвращаясь к вашему примеру, парамагнитный (или неферромагнитный) материал будет выглядеть эргодическим. Он будет исследовать большинство доступных состояний из-за небольших электромагнитных возмущений, которые на него влияют. С другой стороны, ферромагнитный материал никогда не будет выглядеть эргодичным, потому что небольшие возмущения не могут заставить магнит изменить свою ориентацию. Так что вы правы: системы, в которых существует большой энергетический барьер между состояниями, заведомо неэргодичны.

2. Даже в тех случаях, когда имеет место что-то вроде эргодичности, время возврата$T$может быть очень большим, даже больше, чем возраст Вселенной.

Наконец, некоторые из ваших вопросов больше ориентированы на концепцию спонтанно нарушенной симметрии. Возможно, вы захотите посмотреть некоторые другие ответы на эту конкретную проблему, например, этот .

РЕДАКТИРОВАТЬ: Эта статья также дает хорошие объяснения, в частности, о невозможности сильной эргодичности.

Он [Больцман] выдвинул то, что он назвал эргодической гипотезой, которая постулировала, что механическая система, скажем, для газовой динамики, начиная с любой точки при эволюции во времени Pt, в конечном итоге пройдет через каждое состояние на поверхности энергии. Максвелл и его последователи в Англии назвали эту концепцию непрерывностью пути (3). Ясно, что при этом предположении средние по времени равны средним по фазам, но сегодня для нас столь же ясно и то, что система могла бы быть эргодичной в этом смысле только в том случае, если бы фазовое пространство было одномерным. Планшерель (14) и Розенталь (15) опубликовали доказательства этого, а ранее Пуанкаре (16) выразил сомнение в эргодической гипотезе Больцмана.

Насколько я понимаю, ваши вопросы тесно связаны. Представьте себе систему при высокой температуре, быстро исследующую большую часть своего фазового пространства. Можно сказать, что в этой ситуации верна эргодическая гипотеза. Затем вы начинаете уменьшать температуру и энергию, и может случиться так, что для низких энергий в фазовом пространстве есть две области с одинаковой энергией, но далеко друг от друга. Тогда система, движущаяся хаотично, будет захвачена при падении температуры ниже определенного предела одной из этих областей. Это можно было бы рассматривать как фазовый переход, и эргодическая гипотеза не была бы верна в наивном смысле (поскольку не все микросостояния с заданной энергией были бы равновероятными, а только те в связанном компоненте, который был «выбран»).

Как и все остальное в физике, микроканонический ансамбль — это идеализация, полезная для начала работы и построения некоторой интуиции.

Классическая физика, в которой эргодичность может применяться к достаточно простым системам, также является идеализацией. В квантовой механике, которая является более точной теорией, понятие эргодичности не имеет даже места.

Так что вы правы - микроканонических систем не бывает. В равновесии типичные системы являются великими каноническими.

(Примечание: у меня есть фон конденсированных сред, поэтому я бы в основном использовал терминологию CMT - к счастью, приведенный вами пример FM относится к области CMT.)

У вас есть несколько вопросов, пытающихся связать следующие темы: микроканонический ансамбль, эргодичность, спонтанное нарушение симметрии и даже теорию фазовых переходов Лаудау. Слишком сложно разъяснить их все - я постараюсь изо всех сил, и, очевидно, для достижения окончательного консенсуса требуется дальнейшее обсуждение в области комментариев...

Прежде всего, некоторые из ваших вопросов не очень четко определены, например, теория Лаудау описывает явление нарушения симметрии, которое может быть переходом второго порядка, если конечная группа симметрии является подгруппой исходной группы. Я предполагаю (не совсем уверен), что вы имеете в виду, что вы связываете фазовый переход с эволюцией системы в реальном времени, которая тогда кажется связанной с эргодичностью. Однако теория перехода Ландау не имеет ничего общего с эволюцией, а представляет собой просто феноменологическое описание двух сторон фазового перехода, характеризующее систему параметром порядка, введенным вручную (но измеримым), что представляет собой статическую точку зрения, т.е. всегда описывающая систему после достижения равновесия. Для непрерывного перехода второго рода пока конечная группа симметрии содержит или содержится в исходной группе, теория Ландау всегда работает. (Сегодня мы знаем, что есть некоторые экзотические примеры, например, деконфайнментированная квантовая критическая точка, топологический порядок и т. д.)

Кроме того, вернемся к упомянутому вами примеру с FM, где речь идет о спонтанном нарушении симметрии (SSB), что гораздо сложнее: наличие SSB не требует от системы выбора определенного набора конфигураций, что является классической картиной в ваш ум; в то время как квантово-механически, даже в состоянии суперпозиции, вы все равно можете обнаружить недиагональный дальний порядок определенного параметра локального порядка, чтобы определить, есть ли SSB или нет. Точнее, в случае ФМ, если вы посмотрите на исходный гамильтониан Гейссенберга, после блочной диагонализации эффективный гамильтониан в многообразии основного состояния должен быть единичной матрицей, умноженной на постоянное значение энергии, — это подтверждает ваше мнение о том, что если система была зажаты в определенном направлении из-за каких-то внешних возмущений или ваших измерений, скажем,$S_z$компонента, то эволюция во времени этой линейной квантовой системы никогда не могла бы пойти в другом направлении, поскольку в гамильтониане вообще нет недиагонального члена — помните, «из-за чего-то» означает, что теоретически у вас действительно может быть состояние суперпозиции без "классический SSB (т.е. полная намагниченность, выбирающая направление)", если вообще нет возмущений. Однако это состояние суперпозиции все еще не является «микороканонической системой», поскольку это чистое состояние, а природа линейной эволюции КМ не позволяет его пути, охватывающему все многообразие основного состояния, что я подробно объясняю в следующем абзаце. Но основная идея моего объяснения выше состоит в том, чтобы пояснить, что SSB не является подходящим примером, помогающим понять эргодичность.

Во-вторых, существует ли, по-Вашему, "микроканоническая система"? Что ж, со статистической точки зрения ансамбль должен состоять из бесконечного числа систем. Нет ничего под названием "микроканоническая система" вообще! В статистической физике вводится только «микроканонический ансамбль». Например, при заданной энергии$E_0$есть несколько вырожденных состояний, тогда я мог бы сделать несколько копий системы, заставив их удовлетворять предположению о равном распределении, тогда они вместе напрямую образуют ансамбль. Так что вам не нужно беспокоиться о том, есть ли ансамбль; скорее, вам следует спросить, действителен ли ансамблевый подход для одной системы или нет. Точнее, я думаю, что вы хотите спросить: существует ли единая система (изолированная), среднее по времени которой может быть аппроксимировано средним по ансамблю, т. е. верна гипотеза эргодичности. Краткий ответ (для изолированной системы): классически возможно, квантово-механически невозможно. В классическом случае вы могли бы найти знаменитый пример свободных частиц в ящике несоизмеримой длины. Но для квантовой системы эволюция линейна:$|\Psi(t)\rangle = \sum_i\lambda_ie^{iE_it}|\psi_i\rangle$где$E_i$есть собственная энергия гамильтониана — это явно не эргодично. В крайнем случае вы можете просто создать собственное состояние в$t=0$, то он никогда не перейдет в другие вырожденные состояния. Поэтому, по крайней мере, эргодичность невозможна для собственного состояния изолированной системы. Следовательно, вам вообще не нужно рассматривать такие вещи, как «энергетический барьер», если система действительно изолирована.

Но значит ли это, что традиционная ансамблевая перспектива совершенно бесполезна, включая даже канонические ансамбли и великие канонические ансамбли, производные от микроканонической? Не совсем. Однако с более современной точки зрения есть несколько сложных вопросов, например, гипотеза термализации собственных состояний (ETH), квантовый хаос (вероятно... я вообще не знаком с хаосом, поэтому пропущу его, и можно спросить у кого-нибудь). Я мало что знаю, но ETH дает возможность, что для подсистемы изолированной все же можно использовать для анализа канонический ансамбль (но эта гипотеза будет нарушена в некоторых случаях, связанных с очень горячей темой: многие- локализация тела).

Еще две вещи, которые следует упомянуть об эргодичности и ансамблевой перспективе:

(1) В реальном мире в экспериментах нет ничего изолированного — здесь имеет значение энергетический барьер, поскольку внешние возмущения могут привести систему к «статистическому равновесию» только тогда, когда барьер не слишком велик.

(2) Даже если вы идеализируете что-то изолированное, то, как вы это теоретически моделируете, всегда недостаточно полно: всегда есть какой-то внутренний механизм взаимодействия, которым мы пренебрегаем. Следовательно, для проверки теоретического предсказания эксперимента во многих случаях все еще можно применять традиционную перспективу ансамбля.

Нарушение симметрии в ферромагнитных материалах ниже температуры Кюри может происходить из-за каких-то микроскопических взаимодействий с чем-то, что не учитывается в нашем описании?

Нет, не совсем. У вас есть спонтанное нарушение симметрии в модели Изинга в$d>1$без необходимости какого-либо дополнительного члена взаимодействия в гамильтониане.

Эквивалентно, этот вопрос можно было бы перефразировать так: существуют ли на самом деле микроканонические системы?

Что именно вы имеете в виду под «микроканонической системой»?

Если вы имеете в виду систему с фиксированной энергией и числом частиц, то, конечно, как и все в физике, это идеализация, потому что ни одна система никогда не может быть идеально изолирована на практике.

Однако прилагательное «микроканонический» чаще относится к микроканоническому ансамблю . Ансамбль — идеальная бесконечная совокупность копий системы, различающихся своим микросостоянием в данный момент времени. Микроканонический ансамбль — это ансамбль систем с одинаковой энергией$E$, количество частиц$N$и объем$V$.

При таком значении понятие «микроканонический ансамбль» является, конечно, идеализацией, потому что у нас никогда не будет доступа к бесконечному количеству копий одной и той же системы. Полезность понятия «ансамбль» заключается именно в эргодической гипотезе, которая говорит вам, что усреднение по этому идеальному ансамблю (которого на практике не существует) эквивалентно усреднению по времени, если интервал времени, за который вы берете средний "достаточно длинный". Таким образом, эргодическая гипотеза, если мы используем «ансамблевый» подход, является основной гипотезой, на которой строится вся статистическая механика (1).

В эргодической гипотезе есть несколько проблем, первая из которых заключается в том, что она «достаточно длинная»: иногда время релаксации системы может быть чрезвычайно большим, больше, чем любая временная шкала, которую может измерить человек. Для таких систем мы даже не можем сказать, действительно ли нарушена эргодичность или время, которое мы должны ждать до термализации системы, просто слишком велико, чтобы мы могли его измерить.

Может ли справедливость эргодической гипотезы быть связана с высотой энергетического барьера между разрешенными микроскопическими конфигурациями?

Абсолютно. Именно это и происходит со стеклом: если жидкость охладить достаточно быстро, она не сможет кристаллизоваться и попадет в метастабильное состояние, которое не является ее истинным основным состоянием при этой температуре (то есть кристаллом). Время, которое система должна ждать, чтобы выйти из этого метастабильного состояния, приблизительно пропорционально$\exp(\beta \Delta F)$, где$\Delta F$высота свободного энергетического барьера, который система должна преодолеть. Таким образом, время релаксации экспоненциально увеличивается с высотой барьера; когда это время больше, чем любое время, которое мы можем измерить, мы говорим, что эргодичность нарушена .

Однако я хотел бы подчеркнуть, что на самом деле мы говорим о нарушении эргодичности... для нас : если мы подождем «достаточно большое» время, система в конечном итоге выйдет из этого метастабильного состояния и достигнет своего реального основного состояния. . На самом деле существует теорема, называемая теоремой о возвращении Пуанкаре , которая гласит, что если система имеет ограниченные энергию и объем, то почти каждое начальное состояние будет посещено бесконечное количество раз в течение ее динамической эволюции («почти каждое» означает, что будет — дискретный набор начальных состояний, которые могут нарушать теорему). Однако время повторения экспоненциально увеличивается с размером системы, и, поскольку типичная реальная система содержит что-то вроде$10^{23}$частиц, мы получаем время повторения, которое полностью выходит за рамки физики (возраст Вселенной является «просто»$10^{17}$секунды).

Возьмем в качестве примера ваш ферромагнетик, а точнее описание его модели Изинга. Возможны два основных состояния: состояние со всеми вращениями вверх и состояние со всеми вращениями вниз. Чтобы переключиться из одного основного состояния в другое, вам нужно перевернуть половину вращений плюс один, и сразу же последует другая половина; стоимость энергии, связанная с этой операцией, следовательно, пропорциональна$N/2+1$, где$N$размер вашей системы (количество спинов). Следовательно, время$\tau$вам придется дождаться флуктуации, чтобы ваша система перешла от одного основного состояния к другому масштабу примерно как$\tau \propto \exp(\beta \epsilon N)$, где$\epsilon$это некоторая энергия. Это означает, что если$N$является «достаточно большим»$\tau$будет больше, чем возраст Вселенной, и, следовательно, для любой практической цели система будет иметь нарушенную эргодичность.

(1) На самом деле можно заложить основы статистической механики, исходя из более слабых утверждений, но это другой вопрос. Взгляните, например, на первую главу книги Ландау (Статистическая физика) или на этот вопрос и ответы .