Точная формулировка теоремы Мермина – Вагнера.

Приведу один вариант теоремы, справедливый для классических систем. Я не буду давать самую общую структуру, так как все становится запутанным, но это все же должно дать вам представление о том, насколько общий результат.

Нам понадобятся следующие ингредиенты:

• Спины: в каждую вершину решетки$\mathbb{Z}^2$, присоединяем спин$\phi_x$принимающие значения в некотором компактном топологическом пространстве$S$.
• Группа симметрии: компактная связная группа Ли.$G$действующий на$S$.
• Взаимодействие: кусочно-непрерывная функция$U:S\times S\to\mathbb{R}$, инвариантный относительно действия$G$:$U(g\phi_x,g\phi_y) = U(\phi_x,\phi_y)$, для каждого$g\in G$.
• Константы связи: коллекция$(J_x)_{x\in\mathbb{Z}^d}$неотрицательных действительных чисел, таких, что$\sum_{x\neq 0} J_x<\infty$.

Затем рассмотрим формальный гамильтониан

Без потери общности можно предположить, что$\sum_{x\neq 0} J_x = 1$(поскольку всегда можно масштабировать$U$). С этой нормировкой мы можем рассматривать случайное блуждание$X$на$\mathbb{Z}^2$с вероятностями перехода от$x$к$y$данный$J_{y-x}$.

Тогда утверждение принимает следующий вид: при сделанных выше предположениях все меры Гиббса бесконечного объема, связанные с формальным гамильтонианом$H$инвариантны относительно действия$G$, при условии, что случайное блуждание$X$является рецидивирующим.

В качестве примера рассмотрим случай с$O(N)$модель. В этом случае,$S=\mathbb{S}^{N-1}$это$(N-1)$-сфера,$G=O(N)$это группа вращений$\mathbb{S}^{N-1}$,$U(\phi_x,\phi_y) = -\phi_x \cdot \phi_y$минус скалярное произведение двух единичных векторов. Приведенный выше результат показывает, что все меры Гиббса бесконечного объема, связанные с$O(N)$-модель инвариантны к вращению (из чего, в частности, следует, что не может быть спонтанной намагниченности), как только случайное блуждание$X$является рецидивирующим. Интересно, что в этом случае известно, что имеет место спонтанное намагничивание (и, следовательно, спонтанное нарушение вращательной симметрии) при низких температурах, как только случайные$X$является преходящим. Если вы предпочитаете более явный критерий, ограничьте свое внимание случаем$J_x \propto |x|^{-\alpha}$. Тогда предыдущее обсуждение подразумевает, что имеет место спонтанное нарушение симметрии при низких температурах в$O(N)$-модель тогда и только тогда, когда$\alpha<4$.

[EDIT:] Вот (очень неполный) список литературы по некоторым пунктам, упомянутым выше.

Вариант приведенной выше теоремы:

Двумерные модели статистической физики с непрерывной симметрией: случай сингулярных взаимодействий , Иоффе Д., Шлосман С., Веленик Ю., Комм. Мат. физ. 226 , 433-454 (2002). arXiv:математика/0110127

(Результат на самом деле немного более общий, чем указанный выше.)

Доказательство для общих графов (в предположении, что ассоциированное случайное блуждание является рекуррентным, и для дважды непрерывно дифференцируемого взаимодействия$U$):

Повторяющиеся случайные блуждания и отсутствие непрерывного нарушения симметрии на графах , Ф. Меркл и Х. Вагнер, J. Statist. физ. 75 (1994), вып. 1–2, 153–165.

(Опять же, их результаты существенно более общие: они касаются не обязательно ферромагнитных взаимодействий, квантовых систем и т. д.)

Доказательство того, что$O(N)$модели на$\mathbb{Z}^d$отображать спонтанную намагниченность при низких температурах, как только связанное с ней случайное блуждание становится нестационарным:

Феномен Мермина-Вагнера и кластерные свойства одномерных и двумерных систем , К. А. Бонато, Дж. Ф. Перес, А. Клейн, Дж. Статист. физ. 29 (1982), вып. 2, 159–175.

Вы также можете проверить теорему (20.15) в

Меры Гиббса и фазовые переходы , Х.-О. Георгий, Исследования де Грюйтера по математике, 9. Walter de Gruyter & Co., Берлин, 1988.

Конечно, есть много других соответствующих ссылок. Пожалуйста, проверьте библиографию, указанную в этих ссылках.

Короткий ответ на вопросы 2 и 3:

2. В статье Мермина-Вагнера условие ближнего действия сформулировано как$\sum_{\bf R} {\bf R}^2 |J_{\bf R}|<+\infty$. Для взаимодействий с (или, точнее, мажорным) степенным распадом$|J_{\bf R}| \sim R^{-\alpha}$, это требует$\alpha > D+2$, куда$D$размерность пространства (т.е.$\alpha >4$за$D=2$или же$\alpha >3$за$D=1$). Это условие ближнего действия можно сделать менее строгим (и, следовательно, теорему Мермина-Вагнера более общей): подробности см. в PRL 87, 137303 (2001) или PRL 107, 107201 (2011) .

3. Взаимодействия не обязательно должны быть изотропными, т. е. гейзенберговскими, но основное состояние должно быть инвариантным относительно непрерывной группы симметрии и обладать безмассовой гольдоновской модой, чтобы спектр спиновых волн был бесщелевым. Таким образом, теорема Мермина-Вагнера верна для моделей Гейзенберга и XY, но не для модели Изинга.