Многочлен пятой степени по рациональным числам с группой Галуа порядка больше 242424 не разрешим в радикалах?

Ваше состояние$[E:\mathbb Q] > 24$ясно означает, что квинтика неприводима.

Согласно этому результату (принадлежащему самому Эваристу Галуа) неприводимый многочлен простой степени разрешим тогда и только тогда, когда его поле разложения получается путем присоединения двух корней. Если вы соедините два корня квинтики, вы получите расширение поля степени$\leq 20$. Отсюда условие$[E:\mathbb Q] > 24$получается, что полином неразрешим.

Очевидно, достаточно показать, что$S_5$не имеет подгруппы порядка$30$или$40$.

Чтобы увидеть это$S_5$не имеет подгруппы порядка$30$, мы можем действовать следующим образом: Простая комбинаторика показывает, что$S_5$содержит$20$3-циклы, следовательно$10$3-силовских подгрупп, поэтому нормализатор 3-силовской подгруппы имеет индекс$10$, следовательно$12$элементы. Теперь пусть$G$быть группой из 30 элементов. Единственные возможности для числа 3-силовских подгрупп:$1$и$10$. Если имеется одна 3-силовская подгруппа, то нормализатором ее должна быть вся$G$. Сейчас если$G$встраивается в$S_5$, то нормализатор 3-силовской подгруппы в$G$является подгруппой нормализатора той же 3-силовской подгруппы в$S_5$, но это означает, что$30 | 12$по теореме Лагранжа, что абсурдно. Предположим, есть$10$3-силовские подгруппы, то$20$элементы порядка$3$в$G$. Это заставляет количество$5$-силовские подгруппы$1$, для еще$G$было бы слишком много элементов. Теперь, если имеется только одна 5-силовская подгруппа, то нормализатор этой 5-силовской подгруппы равен$G$, но нормализатор 5-силовской подгруппы в$S_5$имеет$20$элементов, поэтому невозможно, чтобы$G$встраивается в$S_5$.

Чтобы увидеть, что группа$G$порядка$40$не встраивается в$S_5$еще проще, потому что теоремы Силова заставляют число 5-силовских подгрупп быть$1$, поэтому нормализатор 5-силовской подгруппы есть$G$, но нормализатор 5-силовской подгруппы в$S_5$имеет 20 элементов, что означает$40 | 20$по теореме Лагранжа.