Существование ортогональной базы для конечного расширения Галуа над характеристикой 2

Позволять К быть полем характеристики 2 и л быть конечным расширением Галуа К . Учитывая след Т р л / К : л → К и л как конечномерное К -vectorspace мы знаем, что Т р л / К ≠ 0 следовательно, мы получаем невырожденный К -билинейная карта

Т р л / К : л × л → К

( Икс , у ) ↦ Т р л / К ( Икс у )

что дает нам изоморфизм л → л * .

Существует ли ортогональный соотв. самодуальная основа { Икс 1 , … , Икс н } из л , т.е. имеем Т р л / К ( Икс я Икс Дж ) "=" 0 ⟺ я ≠ Дж .

Если характеристика не равна 2, такой базис легко построить индуктивно. А именно пусть ⟨ Икс 1 , … , Икс к ⟩ быть такими, как хотелось бы (ортогональны и их квадрат имеет ненулевой след), и по Граму–Шмидту мы имеем базис ⟨ Икс 1 , … , Икс к ⟩ ⊥ . С Т р л / К является невырожденным, мы находим у , г е ⟨ Икс 1 , … , Икс к ⟩ ⊥ с Т р л / К ( у г ) ≠ 0 и, следовательно, квадрат любого у , г или у + г не равны нулю (char ≠ 2 ). Для случая char=2 я пока нашел только примеры, где это работает.

Давно мне не понадобилась эта информация. Если К является основным полем, то я думаю, что такой базис всегда существует. Один аргумент заключается в том, что если вы начнете с любой основы { Икс 1 , … , Икс н } , то матрица А "=" т р ( Икс я Икс Дж ) симметрична и имеет полный ранг. Также по крайней мере один из диагональных элементов А должен быть ненулевым. Результат Серусси и Лемпеля тогда говорит, что А "=" М М Т для некоторых н × н матрица М . С использованием М поскольку изменение базовой матрицы дает вам претензию.
IIRC индуктивное доказательство результата Серусси-Лемпеля не так уж сложно. Их результат охватывает построение матрицы минимального размера М для всех симметричных матриц А над Ф 2 . И случай, когда А имеет все нули по диагонали, хитрый, и там М имеет р ( А ) + 1 столбцы, иначе р ( А ) колонок хватает. Я не уверен в более общем случае. Как вы заметили, самодвойственности невозможно достичь, если л / К не отделим. Ибо тогда функция трассировки вообще исчезает.
Мне нужно обратиться к моей библии о конечных полях (в моем офисе), чтобы узнать больше, так что придется подождать.

Ответы (1)

В общем случае верен следующий более общий результат.

Тм. Позволять б : Е × Е → Ф невырожденная непеременная симметричная билинейная форма над полем Ф характеристики 2 (где Е является конечномерным Ф -векторное пространство. Затем Е имеет б -ортогональный базис.

Позволять ф б : Икс е Е → б ( Икс , Икс ) е Ф . Так как мы в характеристике 2 , эта карта является аддитивной. Это пригодится для вычислений.

Мы говорим, что б чередуется, если ф б является нулевой картой и непеременной в противном случае.

Обратите внимание, что в вашей ситуации ваша билинейная форма не чередуется, потому что Т р л / К ( Икс 2 ) "=" ( Т р л / К ( Икс ) ) 2 , а трассировка является ненулевой картой, поскольку расширение Галуа является сепарабельным (таким образом, ваш результат будет более верным для конечных сепарабельных расширений).

Доказательство.

Требовать. Существует е 1 , е 2 е Е такой, что б ( е 1 , е 1 ) ≠ 0 , б ( е 1 , е 2 ) "=" 0 и б ( е 2 , е 2 ) ≠ 0.

Предположим, что утверждение доказано. Затем, поскольку б ( е 1 , е 1 ) ≠ 0 , ограничение б к Ф е 1 является невырожденным, поэтому Е "=" Ф е 1 ⊕ ( Ф е 1 ) ⊥ . Теперь ограничение на б на ( Ф е 1 ) ⊥ является невырожденным и неальтернирующим, в силу предположений о е 2 , и мы можем заключить по индукции (выбрать б -ортогональный базис ( Ф е 1 ) ⊥ и добавить е 1 к нему).

Доказательство утверждения.

С б не чередуется, выберите е 1 е Е такой, что λ "=" б ( е 1 , е 1 ) ≠ 0 . Отсюда и ограничение б к Ф е 1 является невырожденным, поэтому Е "=" Ф е 1 ⊕ ( Ф е 1 ) ⊥ .

Если б не чередуется на ( Ф е 1 ) ⊥ , выбери любой е 2 е ( Ф е 1 ) ⊥ такой, что б ( е 2 , е 2 ) ≠ 0 .

Если б чередуется на ( Ф е 1 ) ⊥ , выберите ненулевое значение е 2 е ( Ф е 1 ) ⊥ . С момента ограничения б к ( Ф е 1 ) ⊥ невырожденный, существует е 3 е ( Ф е 1 ) ⊥ такой, что б ( е 2 , е 3 ) "=" 1 . Обратите внимание, что у нас есть б ( е 3 , е 3 ) "=" 0 . Набор е 1 ′ "=" е 1 + λ е 2 + λ е 3 и е 2 ′ "=" е 1 + е 2 . Затем б ( е 1 ′ , е 1 ′ ) "=" λ ≠ 0 и б ( е 1 ′ , е 2 ′ ) "=" 0 . Сейчас б ( е 2 ′ , е 2 ′ ) "=" λ ≠ 0 , и мы закончили.

Существование ортогональной базы для конечного расширения Галуа над характеристикой 2
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v