многочлен с целыми коэффициентами

Да, они целые.

Обратите внимание, что$z_j^k$являются целыми алгебраическими числами, поскольку$z_j$равны, а значит, и коэффициенты$\displaystyle \prod_j(z-z_j^k)$достаточно доказать, что коэффициенты рациональны.

Для этого пусть$K=\mathbb{Q}(\{z_j\})$. Обратите внимание, что$K$поле расщепления$\displaystyle \prod_j(z-z_j)$многочлен с$\mathbb{Q}$-коэффициенты, а значит$K/\mathbb{Q}$является Галуа.

Позволять$\sigma\in\text{Gal}(K/\mathbb{Q})$и рассмотрим любой из коэффициентов$\displaystyle \prod_j (z-z_j^k)$которые являются элементарными симметрическими многочленами$e_i(z_1^k,\ldots,z_n^k)$. Затем, поскольку$\sigma$переставляет набор$\{z_1,\ldots,z_n\}$у нас есть это

где мы использовали тот факт, что$e_i$— элементарный симметричный многочлен.

Таким образом, поскольку$K/\mathbb{Q}$это Галуа, у нас есть это$e_i(z_1^k,\ldots,z_n^k)\in K^{\text{Gal}(K/\mathbb{Q})}=\mathbb{Q}$. Таким образом, из предыдущего комментария следует, что$e_i(z_1^k,\ldots,z_n^k)\in\mathbb{Z}$по желанию.

Да. Очевидно$\prod (z - z_j^k)$инвариантен относительно перестановки$z_j$-s, поэтому, если вы умножите его, в каждой степени$z$вы получите многочлен от переменных$z_1, \ldots, z_n$это инвариантно относительно перестановки переменных. Основная теорема о симметричных многочленах гласит, что каждый такой многочлен на самом деле является многочленом от элементарных симметричных многочленов с целыми коэффициентами, но значения элементарных симметрических многочленов, взятых на$(z_1, \ldots, z_n)$просто коэффициенты$\prod(z - z_j)$которые являются целыми числами, поэтому коэффициенты$\prod(z - z_j^k)$являются значениями многочленов с целыми коэффициентами на целочисленных кортежах, поэтому они являются целыми числами.