Модель космологии скалярного поля: какими должны быть «реалистичные» значения?

Я рассматриваю «классическую» модель космологии скалярного поля: простое реальное скалярное поле, минимально связанное с гравитацией, с потенциалом поля четвертой степени, подобным Хиггсу:

$$\begin{equation}\tag{1} \mathcal{V}(\phi) = \frac{\lambda}{4} (\phi^2 - v^2)^2, \end{equation}$$ где $v$поле «истинного вакуума». Мы можем вывести эту формулу: $$\begin{equation}\tag{2} v = \pm \: \frac{m}{\sqrt{2 \lambda}}, \end{equation}$$ где $m$- масса скалярного поля $\phi$, и $\lambda$является автосвязью поля. Обратите внимание, что $\phi \sim \mathrm{L}^{-1}$, $m \sim \mathrm{L}^{-1}$ и $\lambda$ является безразмерным числом.

Теперь уравнения Фридмана-Лемэтра и уравнение скалярного поля имеют следующий вид ($a(t) \sim \mathrm{L}$— космологический масштабный фактор, а точки — обычные космологические производные по времени.$G \equiv \ell_P^2 \sim \mathrm{L}^2$):

$$\begin{gather}\tag{3} \frac{\dot{a}^2}{a^2} + \frac{k}{a^2} = \frac{8 \pi G}{3} \big( \frac{1}{2} \; \dot{\phi}^2 + \mathcal{V}(\phi) \Big), \\[12pt] \tag{4} \frac{\ddot{a}}{a} = -\: \frac{8 \pi G}{3} \Big( \dot{\phi}^2 - \mathcal{V}(\phi) \Big), \\[12pt] \tag{5} \ddot{\phi} + 3 \frac{\dot{a}}{a} \dot{\phi} + \mathcal{V}^{\prime} = 0. \end{gather}$$ Начальные условия, которые мне нужно использовать, следующие ( $t = 0$настоящее время, т.е. наша человеческая эпоха): $$\begin{align} a(0) &= a_0, & \dot{a}(0) &= H_0, \; \text{(Hubble's constant)} \\[12pt] \phi(0) &= \phi_0, \; \text{(any value)} & \dot{\phi}(0) &= \psi_0. \; \text{(any value)} \end{align}$$ Я могу численно решить эти уравнения (после преобразования масштаба, чтобы удалить все единицы измерения) и получить очень хороший графический результат. Я решаю уравнения второго порядка (4) и (5), используя начальные условия, определенные выше. Уравнение (3) используется только для нахождения параметра кривизны $k$.

Итак, вопрос следующий. У меня есть 4 параметра в качестве входных данных для численного моделирования:

1. Масса поля$m$.
2. Константа связи поля$\lambda$.
3. Начальное значение поля (на данный момент):$\phi_0$.
4. Начальная производная поля (в настоящее время):$\psi_0$.

Для простоты я использую начальное условие медленного вращения:$\psi_0 = 0$. Но какими должны быть «типичные» реалистичные значения трех оставшихся параметров?

В настоящее время, чтобы получить хороший графический вывод, мне пришлось использовать очень фантазийный и экстравагантный ввод:

1. $m \approx 10^{- 68} \text{kg}$(ух ты!)
2. $\lambda \approx 10^{-121}$(вау!)
3. $\phi(0) \sim \frac{1}{\ell_P}$, то есть обратная планковская длина (очень большое поле, чтобы компенсировать малые значения выше).

---

РЕДАКТИРОВАТЬ: Чтобы численно решить уравнения (4) и (5), нам нужно сделать масштабное преобразование, чтобы удалить все единицы. Я использую эти новые переменные:

$$\begin{align} \tau &= H_0 \, t, \text{(dimensionless time, in units of the Hubble's time)} \tag{6} \\[12pt] \Phi &= \sqrt{\frac{8 \pi G}{3}} \; \phi, \text{(dimensionless scalar field, in units of the Planck lenght since $G \equiv \ell_P^2$)} \tag{7} \\[12pt] \tilde{m} &= \frac{m}{H_0}, \text{(dimensionless mass)} \tag{8} \\[12pt] \tilde{\lambda} &= \frac{3 \lambda}{8 \pi G H_0^2}, \text{(dimensionless coupling)} \tag{9} \end{align}$$ Тогда уравнения (4) и (5) становятся такими (штрих — производная по безразмерному времени $\tau$): $$\begin{align} \frac{a^{\prime \prime}}{a} = - \Phi^{\prime \, 2} + \mathcal{V}(\Phi), \tag{10} \\[12pt] \Phi^{\prime \prime} + 3 \frac{a^{\prime}}{a} \Phi^{\prime} + \frac{d \mathcal{V}}{d\Phi} = 0. \tag{11} \end{align}$$ Типичные входные данные, которые я использовал для своего численного моделирования: $\tilde{m} \sim 1$, $\tilde{\lambda} \sim 1$и $\Phi_0 \sim 1$(не слишком маленькие и не слишком большие числа). Из масштабного преобразования (6)-(9) это дает приведенные выше фантазийные значения для $m$, $\lambda$и $\phi_0$.