Моделирование неупругого столкновения

Я попытался смоделировать неупругое столкновение между движущейся массой и большим стационарным объектом, например падение мяча на пол, для анализа приблизительной кинематики и рассеивания тепла при столкновении. Я смоделировал это, используя механическую колебательную систему с одной степенью свободы, состоящую из массы$m$, прикрепленный к одной пружине, жесткости$k$и один демпфер демпфера со скоростью демпфирования$\lambda$, «соединены параллельно», как показано ниже:

$x$это смещение массы от точки, где только что началось столкновение. Отношения между силой растяжения,$T$, а водоизмещение,$x$, для пружины и демпфера, соответственно, принимается следующим образом:

$$T_{spring} = kx$$ $$T_{dashpot} = \lambda \dot x$$

ОСНОВА ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ДОПУЩЕНИЯ

Я выбрал эту систему, поскольку пружина представляет собой упругий характер столкновения (преобразование между KE и упругим PE), а демпфер представляет неупругий характер системы (вызывает рассеяние механической энергии). Следовательно, эта модель будет иметь параметры$k$и$\lambda$это должно быть определено экспериментальными средствами для конкретного столкновения.

Предполагается, что модель справедлива только для положительных значений off$x$, как отрицательный$x$подразумевает, что сталкивающиеся массы не соприкасаются, поэтому эффекты пружины и амортизатора в модели исчезнут. Также предполагается, что большая масса неподвижна и достаточно массивна, чтобы не двигаться из-за столкновения. Непосредственно перед столкновением, в момент$t=0$, масса$m$будет двигаться с начальной скоростью$u$в направлении$x$. Предполагается, что система масс имеет одну степень свободы, так что она не может двигаться ни в каком направлении, не параллельном$x$, и он не может вращаться, так что удлинения пружины и демпфера должны быть одинаковыми. Пружины и амортизаторы имеют незначительную массу.

ПОЛУЧЕННЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

Дифференциальное уравнение системы получается по второму закону Ньютона:

$$\frac{m}{k}\ddot x + \frac{\lambda}{k}\dot x + x = 0$$

Используя преобразования Лапласа:

$\ddot x(t) \to s^2 \bar x(s) - u$
$\dot x(t) \to s \bar x(s)$
$x(t) \to \bar x(s)$

Я получаю следующее:

$$x(t) = \begin{cases} \frac{u}{\omega} e^{-zt} \sin(\omega t), & \text{for $z \ne \sqrt{ \frac{k}{m} }$} \\[2ex] ut e^{-zt}, & \text{for $z = \sqrt{\frac{k}{m}}$} \end{cases}$$

где:
$z = \frac{\lambda}{2m}$является «фактором рассеивания»
$\omega = \sqrt{\frac{k}{m} - z^2}$это частота вибрации

Обратите внимание, что если$\omega$не реально, то система передемпфирована, и следует сделать следующие замены:
$\omega = i \omega_{real}$
$\sin{\omega t} = \sin(i \omega_{real} t) = i \sinh(\omega_{real} t)$

Если в системе есть$z=\sqrt{\frac{k}{m}}$, система будет критически демпфирована, и механическая энергия будет рассеиваться с максимальной скоростью.

Если система либо критически демпфирована, либо передемпфирована, то вся кинетическая энергия будет рассеиваться во время столкновения, поэтому масса останется прикрепленной к большой массе после столкновения.

Для случая недодемпфированной массы скорость дается (путем дифференцирования$x(t)$) следующее:

$$\dot x(t) = -\frac{uz}{\omega} e^{-zt} \sin(\omega t) + u e^{-zt} \cos(\omega t)$$

Время, за которое масса вернется в$x = 0$является$t = \frac{\pi}{\omega}$. Следовательно, скорость тела после столкновения равна$-u e^{-\pi z / \omega}$. Таким образом, усиление KE, т. е. отношение KE после столкновения к KE до столкновения, равно:

$$G_{KE} = e^{-2\pi z / \omega}$$

а энергия, рассеиваемая при столкновении, равна:

$$E_{loss} = \frac{1}{2}mu^2\left( 1 - e^{-2\pi z / \omega} \right)$$

МОЯ ПРОБЛЕМА

1) Достаточно ли этой модели для аппроксимации неупругих столкновений? Делал ли я какие-либо фатальные предположения, например, является ли неточным использование вязкого демпфера для моделирования рассеивания тепла? Если вы знаете механику потери тепла при неупругом столкновении, не могли бы вы дать мне какое-нибудь представление об улучшении этой модели? Подходит ли эта модель для определенных материалов?

2) Кажется, что для конкретных столкновений КЭ-усиление не зависит от скорости удара меньшей массы. Если бы я повторил эксперимент с теми же двумя массами столкновения, есть ли основания полагать, что параметры столкновения,$k$и$\lambda$изменилось бы? Если нет, то в качестве бонуса у кого-нибудь есть ресурсы, чтобы экспериментально определить, что усиление KE для столкновений (где две сталкивающиеся массы остаются одинаковыми, но скорость сталкивающейся массы варьируется в эксперименте) не зависит. скорости ударяющей массы?