Коэффициент восстановления для совершенно неупругого столкновения

В статье уточняется, что уравнение, касающееся кинетической энергии, рассматривает относительную кинетическую энергию. При совершенно неупругом столкновении тела не движутся друг относительно друга, поэтому относительная кинетическая энергия равна$0$. Таким образом, нет никакого противоречия.

---

Чтобы добавить к этому больше деталей, лучше всего работать в центре кадра импульса, который является кадром, где общий импульс системы$0$. Это можно сделать, сначала заметив, что по определению центр масс двух объектов (которые мы рассматриваем как точечные частицы) равен

$$x_\text{COM}=\frac{m_1x_1+m_2x_2}{m_1+m_2}$$ что означает, что скорость центра масс $$v_\text{COM}=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}$$ где$v_1$и$v_2$- скорости, наблюдаемые в некоторой инерциальной системе отсчета.

Поэтому, чтобы переместиться в центр системы импульсов, все, что нам нужно сделать, это изменить наши скорости на$v_1\to v_1-v_\text{COM}$и$v_2\to v_2-v_\text{COM}$. Вы можете легко показать, что в этом кадре$p_\text{total}=0$, т.е.

$$m_1(v_1-v_\text{COM})+m_2(v_2-v_\text{COM})=0$$

Кинетическая энергия в этом центре импульса является «относительной кинетической энергией».

$$K_r=\frac12m_1(v_1-v_\text{COM})^2+\frac12m_2(v_2-v_\text{COM})^2=\frac12\cdot\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\cdot(v_1-v_2)^2$$

Как видите, эта кинетическая энергия включает в себя относительную скорость между двумя объектами, а также уменьшенную массу.$\mu=m_1m_2/(m_1+m_2)$. Затем вы можете легко показать отсюда, что для столкновения между двумя объектами

$$k_\text{COR}=\frac{v_{1,\text{after}}-v_{2,\text{after}}}{v_{1,\text{before}}-v_{2,\text{before}}}=\sqrt{\frac{(v_{1,\text{after}}-v_{2,\text{after}})^2}{(v_{1,\text{before}}-v_{2,\text{before}})^2}}=\sqrt{\frac{K_{r,\text{after}}}{K_{r,\text{before}}}}$$