Вопрос об импульсе по оси yyy при упругом столкновении бильярдных шаров одинаковой массы

Question

Вопрос об импульсе по оси yyy при упругом столкновении бильярдных шаров одинаковой массы

Прегунто

В моем учебнике по физике меня просят доказать, что когда бильярдный шар, движущийся вдоль оси X, сталкивается с другим бильярдным шаром такой же массы при упругом, нелобовом столкновении, два шара удаляются друг от друга под углом 90 градусов. (см. прилагаемую картинку).

Я понимаю их объяснение, за исключением одной детали: анализ, как и следовало ожидать, начинается с формул для импульса как для $x$ - и $y$ -ингредиенты движения шаров. Для того, кто имеет дело с y-ингредиентом, они дают: $v_1\sin\Theta_1-v_2\sin\Theta_2=0$ .

Это, конечно, основано на том факте, что мы определили ось x в соответствии с начальным движением движущегося шара, а это означает, что не было y-компоненты импульса, поэтому y-компонента должна равняться 0 после столкновения как хорошо.

Моя проблема заключается в следующем: в качестве формулы я узнал, что $m\mathbf{V}_1 + m\mathbf{V}_2 = m\mathbf{v}_1 + m\mathbf{v}_2$ , нет $m\mathbf{V}_1 + m\mathbf{V}_2 = m\mathbf{v}_1 - m\mathbf{v}_2$ .

Я предполагаю, что минус в ответе есть, потому что мы знаем, что скорость второго шара по оси у противоположна скорости другого шара.

Но это приводит к другой странности, а именно к тому, что если я переставлю формулу, то получу: $v_1\sin\Theta_1=v_2\sin\Theta_2$ скорее, чем $v_1\sin\Theta_1=-v_2\sin\Theta_2$ .

Таким образом, скорости оказываются одинаковыми, несмотря на то, что они движутся в противоположных направлениях…

Может ли кто-нибудь прояснить путаницу?

Спасибо!

Ответ:

пользователь197851

Ваша диаграмма не определяет

Θ_{1}

$\Theta_1$ и

Θ_{2}

$\Theta_2$ , что имеет решающее значение. Я подозреваю, что они оба определены как положительные величины, несмотря на то, что углы на самом деле в противоположном направлении (по часовой стрелке и против часовой стрелки). При рассмотрении сохранения импульса важны знаки. Определения предназначены для удобства, а не для того, чтобы сбивать с толку, но их нужно тщательно обдумать.

Ответы (1)

Вопрос об импульсе по оси yyy при упругом столкновении бильярдных шаров одинаковой массы

Ваша диаграмма не определяет $\Theta_1$ и $\Theta_2$ , что имеет решающее значение. Я подозреваю, что они оба определены как положительные величины, несмотря на то, что углы на самом деле в противоположном направлении (по часовой стрелке и против часовой стрелки). При рассмотрении сохранения импульса важны знаки. Определения предназначены для удобства, а не для того, чтобы сбивать с толку, но их нужно тщательно обдумать.

Фарчер · Answer 1

Оба уравнения «правильные».

В этой задаче вы используете тот факт, что начальный импульс в $\hat y$ направление равно нулю, поэтому конечный импульс в $\hat y$ направление также должно быть нулевым.

$m \,\vec 0 = m \,\vec v_{\rm 1y} + m \,\vec v_{\rm 2y}$

$\vec v_{\rm 1y}$ это не проблема, потому что $\vec v_{\rm 1y}= v_{\rm 1y} \, \hat y$ где $v_{\rm 1y}$ является либо компонентом в $\hat y$ направление или величина вектора $\vec v_{\rm 1y}$ и оба представления дадут положительное значение для $v_{\rm 1y}$ .

Теперь что насчет $\vec v_{\rm 2y}$ ?

Ты мог сказать это $\vec v_{\rm 2y} = v_{\rm 2y} \hat y$ где $v_{\rm 2y}$ является компонентом $\vec v_{\rm 2y}$ в $\hat y$ направлении, и после проведения расчетов окажется, что $v_{\rm 2y}$ является отрицательной величиной, т.е. $\vec v_{\rm 2y}$ находится в $(-\hat y)$ направление.
Используя это обозначение

\vec{0} "=" {\vec{в}}_{1 у} + {\vec{в}}_{2 у} \Rightarrow 0 \hat{у} "=" в_{1 у} \hat{у} + в_{2 у} \hat{у} \Rightarrow в_{1 у} "=" - в_{2 у}

$\vec 0 = \vec v_{\rm 1y} + \vec v_{\rm 2y} \Rightarrow 0 \,\hat y= v_{\rm 1y}\,\hat y + v_{\rm 2y} \, \hat y \Rightarrow v_{\rm 1y}= - v_{\rm 2y}$

С другой стороны, вы могли бы сказать, что $\vec v_{\rm 2y} = v_{\rm 2y} (-\hat y)$ где $v_{\rm 2y}$ является компонентом $\vec v_{\rm 2y}$ в $(-\hat y)$ направлении, и после проведения расчетов окажется, что $v_{\rm 2y}$ является положительной величиной.
Используя это обозначение

\vec{0} "=" {\vec{в}}_{1 у} + {\vec{в}}_{2 у} \Rightarrow 0 \hat{у} "=" в_{1 у} \hat{у} + в_{2 у} (- \hat{у}) \Rightarrow в_{1 у} "=" в_{2 у}

$\vec 0 = \vec v_{\rm 1y} + \vec v_{\rm 2y} \Rightarrow 0 \,\hat y= v_{\rm 1y}\,\hat y + v_{\rm 2y} \, (-\hat y) \Rightarrow v_{\rm 1y}= v_{\rm 2y}$

Эквивалентное утверждение в этом случае состоит в том, чтобы сказать, что $\vec v_{\rm 2y} = (-v_{\rm 2y}) \hat y$ где $v_{\rm 2y}$ величина $\vec v_{\rm 2y}$ а при подсчетах окажется, что $v_{\rm 2y}$ есть положительная величина, которая должна быть такой, поскольку величины всегда положительны.
Используя это обозначение

\vec{0} "=" {\vec{в}}_{1 у} + {\vec{в}}_{2 у} \Rightarrow 0 \hat{у} "=" в_{1 у} \hat{у} + (- в_{2 у}) \hat{у} \Rightarrow в_{1 у} "=" в_{2 у}

$\vec 0 = \vec v_{\rm 1y} + \vec v_{\rm 2y} \Rightarrow 0\, \hat y= v_{\rm 1y}\,\hat y + (-v_{\rm 2y}) \, \hat y \Rightarrow v_{\rm 1y}= v_{\rm 2y}$

В первом методе вы не судите о направлении скорости. $\vec v_{\rm 2y}$ и когда вы сделали расчет, потому что вы нашли этот компонент $v_{\rm 2y}$ отрицательный, то вы знаете, что он находится в $(-\hat y)$ направление.

Во втором и третьем методах вы делаете суждение о направлении скорости. $\vec v_{\rm 2y}$ как в $(-\hat y)$ направление, и когда вы сделали расчет, вы ожидаете числовое значение $v_{\rm 2y}$ быть положительным.

PS Чтобы доказать, что угол является прямым углом для упругого столкновения (сохранение кинетической энергии)

\frac{1}{2} м в^{2} "=" \frac{1}{2} м в_{1}^{2} + \frac{1}{2} м в_{2}^{2} \Rightarrow в^{2} "=" в_{1}^{2} + в_{2}^{2}

$\frac 12 m v^2 = \frac 12 m v_1^2 + \frac 12 m v_2^2 \Rightarrow v^2 = v_1^2 + v_2^2$

т.е. треугольник скоростей $\vec v = \vec v_1 + \vec v_2$ прямоугольный - Пифагор.

Спасибо за подробный ответ! Мое остающееся сомнение состоит в том, что, опираясь на математические доказательства, представленные в ответе в конце книги, только v1sinΘ1−v2sinΘ2=0 приводит к правильному ответу. v1sinΘ1+v2sinΘ2=0 явно приводит к неправильному ответу. Почему так, если оба варианта верны, и как мне понять, какой из них выбрать?
@Pregunto Я хотел бы увидеть работу, которая дала правильный ответ.
Я вставил ключ ответа в исходный вопрос. Когда я использую положительную версию формулы (v1sinΘ1+v2sinΘ2=0) с использованием той же методологии, я получаю 2·v1·v2·cos(θ1-θ2)=0, что не приводит к правильному ответу.
@Pregunto Подсчет сумм другим способом $\cos(\theta_1-\theta_2) =0$ . Однако $\theta_2$ является отрицательной величиной, которая дает тот же результат, что и раньше.
Еще раз спасибо! И тот факт, что в этом сценарии θ2 является отрицательным, я должен сделать вывод, исходя из того факта, что v2 имеет отрицательное значение, верно? Просто пытаюсь на 100% уложить это в голове...
Да, вы правильно поняли. В более простых примерах, где можно предсказать результат с точки зрения направления, описанный выше подход, возможно, немного проще применить?

Вопрос об импульсе по оси yyy при упругом столкновении бильярдных шаров одинаковой массы

Прегунто

пользователь197851

Ответы (1)

Фарчер

Прегунто

Фарчер

Прегунто

Фарчер

Прегунто

Фарчер

Действительно ли при ударе на тело действует сила?

Как рассчитать частично упругое и частично неупругое столкновение?

Коэффициент восстановления для совершенно неупругого столкновения

Упругое столкновение и импульс

Говорит ли неупругое столкновение о том, что мяч отскакивает к вам, когда его бросают на землю под углом?

Столкновение объекта со стеной

Почему в этой задаче о шкиве не сохраняется импульс?

Неоднозначность направления угловой скорости и углового смещения из соотношения ω=dϕdtω=dϕdt\boldsymbol{\omega}=\frac{d\boldsymbol{\phi}}{dt}

Что вызывает повреждение, кинетическая энергия или импульс?

Что причиняет больше вреда, лобовое столкновение автомобиля на скорости 30 км/ч или один автомобиль на скорости 60 км/ч врезается в неподвижный?