Как квазиклассически квантовать фазовое пространство?

Во-первых, нужно понимать, что фазовое пространство классически параметризуется$x,p$и координаты на обычной плоскости коммутируют друг с другом,$xp=px$. Однако в квантовой механике это не так. Вместо этого у нас есть коммутатор Гейзенберга

$$xp - px = i\hbar.$$ Это означает, что с точки зрения квантовой механики фазовое пространство представляет собой не обычную плоскость (или многомерное пространство), а «некоммутативную геометрию».

Тем не менее, можно использовать и обычную плоскость для параметризации квантового фазового пространства. Операторы в гильбертовом пространстве могут быть канонически связаны с обычными функциями$f(x,p)$коммутирующих координат с помощью так называемого преобразования Вигнера:

http://en.wikipedia.org/wiki/Weyl_ordering

Важно отметить, что ненулевой коммутатор влияет на геометрию фазового пространства, только если мы изучаем его с лучшим разрешением, чем$\hbar$. При очень больших изменениях$x$а также$p$, квантовое фазовое пространство можно аппроксимировать классическим.

The $\hbar\to 0$является классическим пределом. В этом пределе$xp-px=i\hbar$также отправляется в ноль. Таким образом, фазовое пространство фактически становится классической геометрией. Если вы хотите сохранить$\hbar$фиксированный и представьте, что означает предел, это означает такие значения$x,p$и их изменения, чтобы$\Delta x \cdot \Delta p \gg \hbar$. В этом пределе фазовое пространство является классическим и в нем можно определить обычные контурные интегралы.

В этом пределе число «клеток», заключенных в такие контуры, огромно, намного больше, чем одна.$N\gg 1$. Можно вычислить количество ячеек (т.е. количество базисных векторов ортонормированного базиса, представляющего частицу с$x,p$в области, граничащей с контуром) - с точностью, которая пренебрегает только «несколько размытой границей», - взяв площадь и разделив ее на$2\pi \hbar$.

Это отображение можно представить как следующее соответствие между квантовым следом и классическим интегралом по фазовому пространству:

$${\rm Tr} \leftrightarrow \frac{1}{2\pi \hbar}\int dp\,dx$$ Это соотношение работает для любой области фазового пространства, ограниченной любой кривой. Но есть специальные виды кривых, о которых мы можем сказать дополнительные вещи.

Мы также можем привести примеры, объясняющие, почему приведенное выше соответствие работает. Представьте, что пространство представляет собой круг радиуса$R$, т.е.$x$отождествляется с$x+2\pi R$, с окружностью. В этом случае импульс$p$квантуется, потому что волновая функция$\exp(ipx/ \hbar)$должно быть однозначным на окружности. Это следует из того

$$p = \frac{N\hbar}{R}$$ собственные состояния $p$образуют полный базис, и мы можем подсчитать, сколько состояний имеется в области фазового пространства. Представим фазовое пространство в виде тонкой полоски (точнее, длинного бесконечного цилиндра: из-за периодического отождествления $x$). Он тонкий в $x$направление, ширина $2\pi R$, окружность круга, конечно.

Сколько штатов? Если длина полосы/цилиндра в$p$направление$\Delta p$, число состояний в нем равно$\Delta p\cdot R/ \hbar$потому что интервал$\hbar/R$. А так как ширина полосы$2\pi R$, число состояний на единицу площади фазового пространства равно

$$\frac{\Delta p\cdot R}{\hbar} \cdot \frac{1}{\Delta p} \cdot \frac{1}{2\pi R} = \frac{1}{2\pi\hbar}$$ что в точности согласуется с утверждением, что $2\pi \hbar$это площадь одиночной клетки. Этот результат справедлив не только для компактификации на окружности, но и для бесконечного $x,p$также.

Приближение ВКБ использует эти идеи для получения многих других вещей. В частности, наиболее интересные контуры для$\int p\cdot dx$в ВКБ-приближении – контуры, соединяющие точки с$H(x,p)=H_0$, т.е. контуры фиксированной энергии. Это места фазового пространства, где можно представить, что собственное энергетическое состояние локализовано. Если нарисовать много контуров этой формы для различных значений$H_0$и вы убедитесь, что область между ними$2\pi\hbar$для каждой соседней пары вы можете утверждать, что межконтурное «кольцо» представляет собой область фазового пространства, связанную с конкретным собственным состоянием.

Например, вы можете выбрать гармонический осциллятор. В правильных единицах, выбранных для графика,$H(x,p)=H_0$кружки для каждого значения$H_0$а межконтурные области являются настоящими кольцами. Их ширина будет равна$1/\sqrt{n}$и их радиус будет равен$\sqrt{n}$куда$n$- целое число, обозначающее энергетический уровень. Вы также должны выбрать внутренний контур, окружающий начало координат, чтобы также окружить соответствующую область фазового пространства.

Классический предел достаточно точен только в том случае, если расстояние между контурами достаточно плотное. Однако, несмотря на то, что он достаточно плотный, можно количественно определить, какова плотность на самом деле, используя только методы предела. Чтобы вычислить такие вещи, мы на самом деле не используем только «классический предел»; мы также используем некоторую информацию о «первой квантовой поправке» к классической физике.

Не пугайтесь, квазиклассическое квантование очень простое, и его можно легко понять из нескольких примеров, ведущих к общему случаю.

Рассмотрим частицу в ящике. Классические движения — это отражение от стены. Они создают коробку в фазовом пространстве, когда частица движется налево, ударяется о стену, идет направо и ударяется о другую стену. Если частица имеет импульс p и длина ящика равна L, площадь, ограниченная этим движением в фазовом пространстве, равна

$$p L$$

и условие состоит в том, что это целое число, кратное$h=2\pi\hbar$. Это дает условие квантования импульса из квантовой механики.

Для одномерной системы правило таково, что

$$\int p dx = n h$$

С возможным смещением, чтобы правая часть могла быть$(n+1/2)h$, или же$(n+3/4)h$, как это уместно, но расстояние между уровнями задается этим правилом в ведущем порядке в h. Это правило можно понять из соотношения де Бройля: импульс при любом x является волновым числом или скоростью изменения фазы волновой функции. Состояние (в натуральных единицах, где$h=2\pi$) говорит о том, что изменение фазы при движении по классической орбите должно быть целым числом, кратным$2\pi$, т. е. волна должна образовывать стоячую волну.

Эта формула не является точной, потому что квантовая волна не следует классической траектории, но приближение ВКБ просто берет ее за отправную точку и создает волну, фаза которой определяется значением этого интеграла, а амплитуда равна обратная квадратному корню из классической скорости.

Причина, по которой это работает, была известна еще до того, как была полностью сформулирована квантовая теория. Но чтобы понять это, требуется знакомство с переменными действие-угол.

Переменные угла действия

Рассмотрим орбиту частицы в одном измерении с положением x и импульсом p. Вы называете область в фазовом пространстве, ограниченную орбитой J, и это действие. J является только функцией H и постоянна во времени (по определению).

Сопряженная переменная к J — это переменная, которая различает точки орбиты, и это называется$\theta$. Теперь вы замечаете, что площадь в фазовом пространстве инвариантна относительно канонических преобразований (для бесконечно малых канонических преобразований это теорема Лиувилля), так что площадь между орбитами в J и J + dJ такая же, как площадь в координатах xp между J и J+dJ, что просто dJ, потому что это определение J. Но эта область в J,$\theta$координаты dJ умножить на период$\theta$, так$\theta$имеет одинаковый период для всех J, который я буду считать равным$2\pi$.

Скорость, с которой$\theta$увеличивается со временем дается уравнениями Гамильтона

$$\dot{\theta} = {\partial H\over \partial J} = H'(J)$$

И это постоянно по всей орбите, потому что H постоянна, как и J. Итак, вы узнаете, что$\theta$монотонно возрастают с постоянной скоростью при каждом Дж, а период времени$\theta$является:

$$T = {2\pi\over H'(J)}$$

Квазиклассическое квантование

Предположим, вы слабо связываете эту одномерную систему с электромагнетизмом. Классическая орбитальная частота будет частотой испускаемых фотонов (и удвоить эту частоту, и утроить эту частоту), так что, если вы хотите иметь дискретные переходы между испусканием фотонов, вы должны убедиться, что испуская фотон с частотой$f={1\over T}$, и забирает энергию$hf$оставляет вас с квантовым состоянием, в которое вы можете попасть. Таким образом, если существует квантовое состояние, соответствующее классическому движению с одним значением J при энергии H(J), должно существовать и другое квантовое состояние с энергией

$$H(J) - {2\pi h\over T} = H(J) - H'(J)h \approx H(J-h)$$

другими словами, квантовые состояния должны быть расположены равномерно в J. В этом порядке это означает, что существуют состояния в Jh, J-2h, J-3h и т. д., и переходы в эти состояния должны воспроизводить классические гармоники излучения производится, когда вы слабо связываете вещь с электромагнетизмом.

Итак, правило квантования$J=nh$, вплоть до возможного смещения. Вывод ясно показывает, что он верен только для ведущего порядка в h. Это был соответствующий аргумент Бора для условия квантования.

Когда у вас более одной степени свободы и система интегрируема, у вас есть переменные действия$J_1,J_2...J_n$и сопряженные угловые переменные, периодические с периодом$2\pi$каждый. Вы можете слабо связать любую из степеней свободы с электромагнетизмом, и каждый классический период$\theta$переменная во времени

$$T_k = {\partial H \over \partial J_k}$$

поэтому утверждение состоит в том, что для каждой орбиты каждая переменная J квантуется в соответствии с правилом Бора.

$$J_k = nh$$

The $J_k$переменной является площадь, заключенная в одномерной проекции движения в тех координатах, где движение распадается на многопериодическое движение (это тор ответа Бар Моше). Это расширение Зоммерфельда квантования Бора.

Таким образом, интеграл$\int p dq$берется с p и q любыми сопряженными переменными, которые совершают периодическое движение. В 1d делать нечего, в многомерности просто выбираешь переменные, которые отдельно выполняют 1d движение, и вообще надо найти J переменных. Эта процедура не работает для классически хаотических систем.

Многие симплектические многообразия (фазовые пространства механических систем) допускают систему координат, в которой симплектическая двойная форма может быть локально записана как:

$\omega = \sum_i dp_i \wedge dq_i + \sum_j dI_j \wedge d\theta_j$

Где$p_i, q_i$линейные координаты$I_j$- радиальные координаты и$\theta_j$являются угловыми координатами.

Подмногообразие, параметризованное$\theta_j$является тором, и результат Снятицкого утверждает, что система может быть проквантована с помощью гильбертова пространства волновых функций (распределений), поддерживаемых только точками, координаты которых$I_j$удовлетворить:

$2 I_j = m \hbar$

Одним из простейших примеров, допускающих такое квантование, является двумерная сфера, симплектическая форма которой является формой площади

$A = r \mathrm{sin} \theta d\theta \wedge d\phi = dz \wedge d\phi$

куда$\theta, \phi$- сферические координаты и$z$координата вдоль оси.

В этом случае условие Бора-Зоммерфельда определяется как:

$z =\frac{ m}{2} \hbar$,

что является условием квантования проекции спина.

На более сложном математическом языке говорят, что открытое плотное подмножество симплектического многообразия расслаивается на лагранжевы торы и интегрирование производится по порождающим циклам торов.