Какова интуитивная причина того, что поток фазового пространства несжимаем в классической механике, но сжимаем в квантовой механике?

1. Так называемое (общее) нарушение квантовой теоремы Лиувилля , т. е. (общее) нарушение уравнения непрерывности

   $$\rho~{\rm div}_{\rho} X^Q_{-H} + \frac{\partial \rho}{\partial t}~\neq~0 \tag{1}$$ $$\begin{align}\Leftrightarrow\qquad \frac{\partial \rho}{\partial t} ~\stackrel{(1)}{\neq}~&\rho~{\rm div}_{\rho} X^Q_H ~\stackrel{(6)+(7)}{=}~\rho~{\rm div}_{\rho} X_H \cr ~\stackrel{\text{Leibniz}}{=}& X_H[z^I] ~\frac{\partial\rho}{\partial z^I} ~+~ \rho~\underbrace{ {\rm div}_1 X_H}_{=0}\end{align}\tag{2}$$ для квантового потока на$2n$-мерное фазовое пространство, можно интуитивно понять как появление дифференциальных операторов более высокого порядка$X$в$\star$-product , которые не (обязательно) подчиняются правилу Лейбница $$X[fg] ~\neq~X[f]g+f X[g] .\tag{3}$$

2. В уравнении (1) мы определили квант ($Q$) версия

   $$X^Q_H~:=~\frac{1}{i\hbar}[H\stackrel{\star}{,}\cdot] ~=~ \frac{2}{i\hbar}H\sinh\left(\frac{i\hbar}{2}\stackrel{\leftarrow}{\partial} \wedge\stackrel{\rightarrow}{\partial}\right) ~=~X_H + {\cal O}(\partial^3) \tag{4}$$ гамильтонова векторного поля $$X_H ~:=~ \{H, \cdot \}~=~H\stackrel{\leftarrow}{\partial} \wedge\stackrel{\rightarrow}{\partial} .\tag{5}$$ Обратите внимание, что компоненты координат одинаковы. $$X^Q_H[z^I]~\stackrel{(4)}{=}~X_H[z^I],\tag{6}$$ что является частью проблемы. Также в ур. (1) мы для удобства определили дивергенцию $${\rm div}_{\rho} X~:=~ \rho^{-1}\frac{\partial(\rho X[z^I])}{\partial z^I}\tag{7}$$ дифференциального оператора, возможно, более высокого порядка$X$. уравнение (7) не является геометрическим объектом, что предвещает гибель уравнения. (1).

3. Квантовая теорема Лиувилля (1) заменяется квантовым уравнением Лиувилля

   $$0~=~\frac{d\rho}{dt}~=~X^Q_{-H}[\rho]+\frac{\partial \rho}{\partial t}\tag{8}$$ $$\qquad\Leftrightarrow\qquad\frac{\partial \rho}{\partial t} ~\stackrel{(8)}{=}~X^Q_{H}[\rho] ~\stackrel{(3)}{\neq}~ X^Q_H[z^I] ~\frac{\partial\rho}{\partial z^I} ~\stackrel{(6)}{=}~ X_H[z^I] ~\frac{\partial\rho}{\partial z^I} .\tag{9}$$ неравенство (9) есть в точности неравенство. (2).$\Box$

4. См. также соответствующий пост Phys.SE.

Извиняюсь за мою неспособность поделиться интуицией, часто субъективной проблемой ... Я многому научился, читая числовые потоки группы Штойернагеля и топологические особенности таких потоков на практике. Недавнее обсуждение/доказательство свойств нулей, сингулярностей и отрицательной плотности вероятности, отсюда и ваш запрос источника-приемника в ангармонических квантовых системах, см. в Kakofengitis, Oliva & Steuernagel, 2017 . В основном все ставки снимаются, когда вы (точка в фазовом пространстве) и соседи входите в ячейку фазового пространства порядка$\hbar$, в силу принципа неопределенности, и это включает определение того, что такое траектория.

Если вы посмотрите отличные фильмы Кабреры и Бондаря в статье WP, на которую вы ссылаетесь, для потенциалов Морса и четверти, вы действительно увидите это в реальном времени, как кусок (вы), распределенный по всему фазовому пространству высокоорганизованным образом. ... Я бросаю вам вызов различать там траектории! Здесь работает мощная топология, но в этом я бы уступил Штойернагелю.

В качестве практической уверенности я выполню тривиальное упражнение из нашей книги о сжимаемости эйлеровых потоков. Для гамильтониана$H=p^2/(2m)+V(x)$, эволюционное уравнение Мойала сводится к эйлеровому уравнению вероятностной транспортной непрерывности,

Теперь обратите внимание на осциллятор,$V_1= x^2/2$,$J_p=-f x$, поэтому фазовая скорость${\bf v}=(mp,- x)$и$\nabla \cdot {\bf v}=0$, несжимаемость. Это напоминание о том, что квантовый осциллятор в своей основе является классическим, и его волновые пакеты не распространяются, как образно указал Шредингер... когерентные состояния. Но это вопиющее исключение.

Для более общего потенциала, такого как квартика,$V_2= x^4/4$,

Таким образом, строго квантовая разница между квантовой скобкой Мойала и классической скобкой Пуассона является решающим элементом в увеличении или уменьшении количества (квази)вероятности в сопутствующей области фазового пространства.$\Omega$, поскольку

• Добавлено примечание : это еще более странно. Квантовые потоки обладают физически значимой вязкостью !

Вот моя действительно наивная попытка ответить на мой собственный вопрос. Пожалуйста, поправьте меня, где я ошибаюсь.

Каждая точка фазового пространства соответствует одному конкретному состоянию системы.$(\vec{q}_1,\vec{q}_2,\ldots,\vec{p}_1,\vec{p}_2,\ldots)$. С течением времени эта точка движется и описывает орбиту в фазовом пространстве. Эту орбиту можно рассчитать с помощью уравнений Гамильтона.

Соседние точки описывают подобные состояния. Поэтому, когда мы не уверены в точном состоянии нашей системы (а мы всегда так уверены из-за нашей ограниченной точности измерений), мы должны принять это во внимание, используя функцию распределения в фазовом пространстве. Эта функция$\rho (p,q)$определяет вероятность$\rho (\vec{q}_1,\vec{q}_2,\ldots,\vec{p}_1,\vec{p}_2,\ldots)\,d^{n}q\,d^{n}p$что система будет находиться в бесконечно малом объеме фазового пространства$d^{n}q\,d^{n}p$. Уравнение Лиувилля определяет «орбиту» нашей начальной функции распределения в фазовом пространстве. Путь, прочерченный таким образом, определяет поток в фазовом пространстве. Два основных компонента вывода уравнения Лиувилля:

1. Уравнения Гамильтона
2. Уравнение неразрывности для$\rho (p,q)$.

Второй ингредиент здесь приводит нас к известному выводу, что поток фазового пространства несжимаем . Это означает, что мы можем положить карандаш на каждую возможную начальную конфигурацию (возможно в статистическом смысле, поскольку мы не уверены на 100% в исходной конфигурации), а затем проследить поток в фазовом пространстве, перемещая эти карандаши через наше фазовое пространство. .

Теперь в квантовой механике это уже не так. Наш фазовый поток сжимаем . Другими словами, уравнение неразрывности уже неверно, так как есть источники и стоки. Это означает, что когда мы пытаемся обвести наши некрологи карандашом, у нас ничего не получается. Одна траектория может разбиться на две, а другие траектории могут исчезнуть. (Есть источники новых траекторий и стоки там, где траектории заканчиваются.)

Это результат фундаментальной неопределенности в квантовой механике. Хотя в классической механике также может быть неопределенность (именно поэтому мы в первую очередь используем функцию вероятности и уравнение Лиувилля), она другого рода. В квантовой механике нет одной уникальной орбиты для каждой возможной начальной конфигурации. Именно это мы имеем в виду, когда говорим, что поток фазового пространства в квантовой механике сжимаем.