Могут ли геодезические в лоренцевом многообразии изменить свой характер?

Существует сохраняющаяся величина для геодезических, которая возникает из-за того, что метрика$g_{ab}$является (тривиально) тензором Киллинга, т.е.

$$\nabla_{(c}g_{ab)} = 0.$$

Любой тензор$\xi_{ab}$что удовлетворяет$\nabla_{(c}\xi_{ab)}=0$дает сохраняющуюся величину$\epsilon = u^a u^b\xi_{ab}$, которая сохраняется вдоль геодезических, для которых$u^a$является касательным вектором. Чтобы увидеть это, мы пишем

$$\frac{d}{d\lambda}\epsilon = u^a\nabla_a\epsilon=u^a\nabla_a(u^bu^c\xi_{bc}) = u^au^bu^c\nabla_a\xi_{bc}+u^c\xi_{bc}u^a\nabla_a u^b+u^b\xi_{bc}u^a\nabla_au^c$$

Все три термина в RHS исчезают. Первый член симметричен по нижним индексам, поэтому он равен нулю, поскольку мы предположили$\xi_{ab}$является тензором Киллинга. Вторые два пропорциональны ускорению$u^a$, который равен нулю, так как мы предположили, что$u^a$касается геодезических. Итак, мы находим

$$\frac{d}{d\lambda}\epsilon=0$$

Теперь принимая$\xi_{ab} = g_{ab}$, так как у нас есть тензор Киллинга, величина$\epsilon = g_{ab}u^au^b$должен быть постоянным. Но для нашего касательного вектора, нормализованного к$0$или$\pm1$,$\epsilon$просто говорит нам, является ли$u^a$является пространственноподобным, времениподобным или нулевым. Итак, математически касательный вектор геодезической не может изменить свою нормировку (и, следовательно, не может переключаться между пространственноподобным, времениподобным или нулевым), потому что он является сохраняющейся величиной вдоль геодезических.