Уравнение геодезического отклонения - почему обычная вторая производная дает правильный ответ?

Question

Уравнение геодезического отклонения - почему обычная вторая производная дает правильный ответ?

Питер4075

Я рассчитал правильный ответ на свою проблему, но не понимаю одно из предположений, которые я сделал при этом.

Я использовал уравнение геодезического отклонения

\frac{Д^{2} ξ^{мю}}{Д λ^{2}} + р_{β α γ}^{мю} ξ^{α} \frac{д {Икс}^{β}}{д λ} \frac{д {Икс}^{γ}}{д λ} "=" 0

$\frac{D^{2}\xi^{\mu}}{D\lambda^{2}}+R_{\phantom{\mu}\beta\alpha\gamma}^{\mu}\xi^{\alpha}\frac{dx^{\beta}}{d\lambda}\frac{dx^{\gamma}}{d\lambda}=0$

показать, что на поверхности единичной сферы две частицы, разделенные начальным расстоянием $d$ , начиная с экватора и двигаясь на север (т.е. по линиям постоянного $\phi$ ) будет разделение $s$ по истечении времени $t$ равно

с "=" ξ^{ф} "=" д грех θ "=" д потому что (в т) .

$s=\xi^{\phi}=d\sin\theta=d\cos\left(vt\right).$ Это похоже на геодезическое отклонение на двух сферах, за исключением того, что вопрос был решен с использованием простой сферической геометрии.

Я сделал предположение, что вторая абсолютная производная по $t$ равна второй обыкновенной производной, т.е.

\frac{Д^{2} ξ^{мю}}{д т^{2}} "=" \frac{д^{2} ξ^{мю}}{д т^{2}} .

$\frac{D^{2}\xi^{\mu}}{dt{}^{2}}=\frac{d^{2}\xi^{\mu}}{dt{}^{2}}.$ Мой вопрос в том, почему мне разрешено делать такое предположение?

На другом физическом форуме мне сказали, что ответ заключается в том, что проблема сформулирована в терминах нормальной координаты Римана (поскольку расстояние, которое автомобили проходят по своим отдельным геодезическим, является линейной функцией времени). $t$ ). Я могу только предположить, что каким-то образом это приводит к исчезновению коэффициентов связи в уравнении абсолютной производной

\frac{Д В^{α}}{д λ} "=" \frac{д В^{α}}{д λ} + В^{γ} Г_{γ β}^{α} \frac{д {Икс}^{β}}{д λ},

$\frac{DV^{\alpha}}{d\lambda}=\frac{dV^{\alpha}}{d\lambda}+V^{\gamma}\Gamma_{\gamma\beta}^{\alpha}\frac{dx^{\beta}}{d\lambda},$ но я не понимаю, почему это так. Как я отметил в комментарии ниже, я понимаю, что можно выбрать координаты в точке, где коэффициенты связи равны нулю, но я использовал обычные полярные координаты

ϕ

$\phi$ и

θ

$\theta$ для расчета правильного ответа. Использование двух разных наборов координат похоже на случай «иметь свой пирог и есть его».

Расчет, кстати, здесь (мой ответ на мой вопрос): Геодезическое отклонение на единичной сфере

Любопытный Разум

Знаете ли вы, что локально всегда можно выбрать координаты, при которых производные метрики (и, следовательно, Кристоффеля) обращаются в нуль?

Питер4075

Я так думаю. Разве это не то, что Шютц называет теоремой о «локальной плоскостности»? Чего я не понимаю, так это того, что я правильно вычислил ответ, используя обычную сферическую

θ, ϕ

$\theta,\phi$ координаты. Я не вижу, как коэффициенты соединения исчезают, используя их.

да

Это верно только для точки

p

$p$ .

Ответы (1)

Уравнение геодезического отклонения - почему обычная вторая производная дает правильный ответ?

Знаете ли вы, что локально всегда можно выбрать координаты, при которых производные метрики (и, следовательно, Кристоффеля) обращаются в нуль?
Я так думаю. Разве это не то, что Шютц называет теоремой о «локальной плоскостности»? Чего я не понимаю, так это того, что я правильно вычислил ответ, используя обычную сферическую $\theta,\phi$ координаты. Я не вижу, как коэффициенты соединения исчезают, используя их.

Пустота · Answer 1

Первая причина заключается в том, что ваше «расстояние» между геодезическими измеряется параллельно распространяющимся направлением. $\partial/\partial \phi$ . Если вы посмотрите на сферу, разница $\Delta \phi$ не соответствует расстоянию между точками на геодезических. Расстояние между ними будет измеряться длинами дуг больших кругов . Но вы используете $\theta=const$ круги, которые не являются большими кругами, если только $\theta=\pi/2$ .

Вторая причина в том, что вы работаете с пространством постоянной кривизны. См. ниже.

Скажем, вы берете вектор $\zeta^\mu$ и распространите его по вашей геодезической, чтобы получить $\zeta^\mu(\lambda)$ , т.е. вы решаете

\frac{Д ζ^{мю}}{д λ} "=" 0

$\frac{D \zeta^\mu}{d \lambda} = 0$ Благодаря этому у вас теперь есть прямое применение правила Лейбница

\frac{Д^{2} (ξ^{мю} ζ_{мю})}{д^{2} λ} "=" \frac{Д^{2} ξ^{мю}}{д^{2} λ} ζ_{мю}

$\frac{D^2(\xi^\mu \zeta_\mu)}{d^2 \lambda} = \frac{D^2\xi^\mu}{d^2 \lambda} \zeta_\mu$ Но

ξ^{μ} ζ_{μ}

$\xi^\mu \zeta_\mu$ это скаляр, который распространяется тривиально, поэтому вы также получаете

D / d λ \to d / d λ

$D/d\lambda \to d/d\lambda$ . Теперь вы можете спроецировать свое уравнение геодезического уравнения в

ζ^{μ}

$\zeta^\mu$ получить

\frac{д^{2} (ξ^{мю} ζ_{мю})}{д^{2} λ} + р_{ν κ λ}^{мю} ξ^{κ} {ты}^{ν} {ты}^{λ} ζ_{мю} "=" 0 (*)

$\frac{d^2(\xi^\mu \zeta_\mu)}{d^2 \lambda} + R^\mu_{\;\nu \kappa \lambda} \xi^\kappa u^\nu u^\lambda \zeta_\mu = 0 \; \; \; \;(*)$

Теперь воспользуемся тем фактом, что вы находитесь в пространстве постоянной кривизны. В таком пространстве вы можете выразить тензор кривизны как

р_{мю ν κ λ} "=" К (г_{мю κ} г_{ν λ} - г_{мю λ} г_{ν κ})

$R_{\mu \nu \kappa \lambda} = K(g_{\mu \kappa} g_{\nu \lambda} - g_{\mu \lambda} g_{\nu \kappa})$ Когда вы подставите это в уравнение геодезического отклонения, вы получите

\frac{Д^{2} ξ^{α}}{д λ^{2}} + {ты}^{2} К ξ^{α} "=" 0

$\frac{D^2 \xi^\alpha}{d\lambda^2} + u^2 K \xi^\alpha = 0$ Где

u = d x / d λ

$u = dx/d\lambda$ и выбираем ортогональный

ξ

$\xi$ к нему (как и в вашем случае). Когда вы делаете проекцию в параллельно распространяющийся

ζ_{α}

$\zeta_\alpha$ , Вы получаете

\frac{д^{2} (ξ^{α} ζ_{α})}{д^{2} λ} + {ты}^{2} К ξ^{α} ζ_{α} "=" 0

$\frac{d^2 (\xi^\alpha \zeta_\alpha)}{d^2\lambda} + u^2 K \xi^\alpha \zeta_\alpha = 0$ То есть, если вы исследуете только

Δ ϕ = ξ^{α} ζ_{α}

$\Delta \phi = \xi^\alpha \zeta_\alpha$ где

ζ = \partial / \partial ϕ

$\zeta = \partial/\partial \phi$ , вы можете использовать даже это строго линейное уравнение.

Обратите внимание, что без использования постоянной кривизны пространства вы получите уравнение $(*)$ что не дает вам большого понятия, почему вы должны быть в состоянии найти $\xi^\alpha \zeta_\alpha$ в сумме с тензором кривизны. Итак, ваше пространство особенное, и ваша мера отклонения особенная — и то, и другое являются необходимыми составляющими предположения.

Итак, могу ли я предположить, что, поскольку только одна из координатных кривых (надеюсь, это правильный термин) является геодезической (т.е. $\phi=constant$ один), то ответ не имеет ничего общего с римановыми нормальными координатами? Кроме того, я не понимал, что если $\frac{D\zeta^{\mu}}{d\lambda}=0$ затем $\frac{D\zeta_{\mu}}{d\lambda} =0$ . Я видел похожую проблему в Интернете, но с одной из частиц, движущихся вдоль экватора ( $\theta =\pi/2$ ), что означает, что коэффициенты связи «естественным образом» исчезают, а абсолютная 2-я производная равна обычной 2-й производной, что значительно упрощает задачу.
Почему правая часть вашего уравнения равна 0? Кажется, все это предполагают, но я не могу найти никого, кто мог бы объяснить, на чем основано это предположение.
@DonaldAirey В моем посте шесть уравнений. Какой из них вы имеете в виду?
@Void - Пятый. Тот, который начинается со слов «Если вы подставите это в уравнение геодезического отклонения»…

Уравнение геодезического отклонения - почему обычная вторая производная дает правильный ответ?

Питер4075

Любопытный Разум

Питер4075

да

Ответы (1)

Пустота

Питер4075

пользователь32023

Пустота

пользователь32023

Интерпретация нормальных координат

Вывод уравнения геодезического отклонения по двум соседним геодезическим

Как найти нулевую геодезическую?

Символы Кристоффеля из уравнения геодезических для метрики с недиагональными элементами

Вычисление символов Кристоффеля с помощью геодезического уравнения

Геодезическое отклонение между тестовыми частицами от гравитационной волны

Могут ли геодезические в лоренцевом многообразии изменить свой характер?

Уравнения геодезических по вариационному принципу

Как определяется неполнота системы координат и пространства-времени?

"WLOG" о геодезических исследованиях Шварцшильда