Комплексное сопряжение решений уравнения Клейна-Гордона с отрицательной энергией

Я не буду приводить полный вывод (который можно найти во многих книгах и заметках к лекциям, например, в разделе 2.5 конспектов лекций Дэвида Тонга по QFT , которому я следую для этого ответа), а просто набросаю основные результаты.

Модовое разложение для комплексного скалярного поля$\phi$в картине Гейзенберга можно записать как

$$\begin{equation} \phi(x, t) = \int \frac{{\rm d}^3 p}{(2\pi)^3} \frac{1}{2 E_\vec{p}} \left( b_\vec{p} e^{i p_\mu x^\mu} + c_\vec{p}^\dagger e^{- i p_\mu x^\mu}\right) \end{equation}$$ и для его эрмитова сопряжения$\phi^\dagger$как $$\begin{equation} \phi^\dagger(x, t) = \int \frac{{\rm d}^3 p}{(2\pi)^3} \frac{1}{2 E_\vec{p}} \left( b^\dagger_\vec{p} e^{-i p_\mu x^\mu} + c_\vec{p} e^{i p_\mu x^\mu}\right) \end{equation}$$ где$E_\vec{p}=+\sqrt{\vec{p}^2 + m^2}$и где$p_\mu x^\mu = -E_\vec{p} t + \vec{p} \cdot \vec{x}$. Обратите внимание, что в расширении для$\phi$, Оператор$b_\vec{p}$связано с отрицательным энергетическим фазовым фактором$\sim e^{-i E_\vec{p} t}$, пока$c^\dagger$связан с положительным энергетическим фазовым фактором$\sim e^{i E_\vec{p} t}$.

Кстати, обратите внимание, что (говоря классически)$\phi$и$\phi^\dagger$(строго говоря, я должен сказать$\phi^\star$классически) являются различными решениями уравнений движения. Даже если вы можете получить$\phi^\dagger$от$\phi$,$\phi$и$\phi^\dagger$являются разными функциями, и это нетривиальное утверждение, что обе функции являются решениями уравнения движения в том смысле, что функция и ее комплексно-сопряженная функция не являются одновременно решениями общего дифференциального уравнения . Это аналогично тому, как$\psi(x)$и$\psi(x+L)$оба являются решениями уравнения Шрёдингера для потенциала, периодического относительно$x\rightarrow x+L$, но перевод в общем случае не приводит к новому решению для произвольных потенциалов.

После некоторой работы, описанной в Tong и других ресурсах$^\star$, можно показать, что операторы$b_\vec{p}$и$c_\vec{p}$подчиняться отношениям

$$\begin{eqnarray} [b_\vec{p}, b^\dagger_{\vec{p}'}] &=& (2\pi)^3 \delta(\vec{p}-\vec{p}') \\ [c_\vec{p}, c^\dagger_{\vec{p}'}] &=& (2\pi)^3 \delta(\vec{p}-\vec{p}') \\ [b_\vec{p}, b_{\vec{p}'}] &=& 0 \\ [c_\vec{p}, c_{\vec{p}'}] &=& 0 \\ [b_\vec{p}, c_{\vec{p}'}] &=& 0 \\ [b_\vec{p}, c^\dagger_{\vec{p}'}] &=& 0 \end{eqnarray}$$ Другими словами,$b$и$c$действуют как операторы рождения для двух разных типов частиц с одинаковой массой, спином и противоположными зарядами. Поскольку вы не можете избежать наличия обоих типов частиц всякий раз, когда у вас есть теория с одним комплексным скалярным полем (как видно из расширения мод), мы используем язык, чтобы подчеркнуть, что эти частицы связаны. Давайте выберем соглашение, которое$c^\dagger$создает частицы и$b^\dagger$создает античастицы .

С$\phi \sim b+ c^\dagger$, грубо говоря$\phi$"создает частицы" и "аннигилирует античастицы", тогда как для$\phi^\dagger$. Это более строгий смысл, в котором комплексное сопряжение (оператора поля$\phi$) связывает (операторы рождения и уничтожения) частицы и античастицы.

---

$^\star$Точнее, вы получаете модовое разложение импульсов, сопряженных с$\phi$и$\phi^\dagger$, примем стандартные коммутационные соотношения$[\phi(x), \pi(x')] = i \delta(x-x')$и$[\phi(x), \pi^\dagger(x')] = 0$, и выясним следствия для коммутаторов$b_\vec{p}$и$c_\vec{p}$.

Сохраняющийся по Нётеру заряженный ток для свободного уравнения Клейна-Гордона равен

$$j^\mu = \frac{ie}{2m}\left( \psi^*\partial^\mu \psi - \psi \partial^\mu \psi^* \right) \,.$$ Инвариантный общий заряд$\int d^3x j^0$имеет тот же знак, что и$\omega$. Этот знак переворачивается при комплексном сопряжении.

Я нашел причину моего замешательства с моим вопросом выше. Я буду расширять его в следующем. Я ограничиваю объяснение уравнением Клейна-Гордона (КГ). Я буду называть частицы, соответствующие уравнению КГ, мезонами. Для электронов/позитронов, следующих уравнению Дирака, это примерно то же самое, за исключением того, что математика более сложная.

Если искать решения сложного КГ-уравнения$(\Box +m^2)\phi =0$Можно найти 2 решения:

$$\phi_+ = N e^{-i p x} \quad \text{and}\quad \phi_- =N e^{+ipx}$$

$N$являющийся некоторым подходящим нормирующим фактором. Тогда как первое решение соответствует$E=\sqrt{\mathbf{p}^2 +m^2}$второй соответствует$E=-\sqrt{\mathbf{p}^2 +m^2}$. (Дисперсионный закон уравнения КГ$p^2=m^2$допускает 2 решения.) Оба решения могут быть преобразованы в соответствующее другое путем комплексного сопряжения:

$$(\phi_+)^{\ast} = \phi_- \quad \text{and}\quad (\phi_-)^{\ast} = \phi_+\tag{0}$$

Это поведение настолько важно, что ему было придумано название «зарядовое сопряжение», а решение с отрицательной энергией «связано с античастицами». Эта операция, по-видимому, переключается между решениями для частиц и античастиц. (У него есть эквивалент, если подумать об операторах поля:$\Psi$создает античастицы, тогда как$\Psi^\dagger$создает частицы, если применяется в состоянии вакуума.)

Теперь мы собираемся выяснить, что именно на самом деле означает «связанный с античастицами». Для этого мы связываем мезоны с электромагнитным полем. Соответствующее уравнение:

$$\left[-\left(i\partial^\mu -e A^\mu\right)(i\partial_\mu - e A_\mu) + m^2\right]\phi =0$$

или

$$(\Box +m^2)\phi = -ie\left(\partial_\mu(A^\mu \phi) + A^\mu \partial_\mu \phi \right)+ e^2 A_\mu A^\mu \phi$$

На самом деле уравнение для решения античастицы должно быть таким же, за исключением знака заряда$e$:

$$(\Box +m^2)\phi = ie\left(\partial_\mu(A^\mu \phi) + A^\mu \partial_\mu \phi \right)+ e^2 A_\mu A^\mu \phi$$

Итак, решение этого уравнения найти очень просто. Просто:

$$\phi_{anti} = \phi^\ast\tag{1}$$

Так что все именно так, как мы и ожидали. Никакого удивления. Но действительно ли мы уверены? Давайте проверим это на простом примере. Сделаем пару упрощающих предположений. Во-первых, электромагнитное поле — это просто постоянное однородное электростатическое поле:$A^\mu = (V,0,0,0)$. Во-вторых, мы рассматриваем мезоны только в их системе покоя, т.е. их импульс равен нулю. В-третьих, мы предполагаем, что можем пренебречь членами$O(e^2)$. Тогда последнее уравнение можно записать так:

$$(\Box +m^2)\phi = -2ie V \frac{\partial \phi}{\partial t}\quad\tag{2}$$

Мы можем угадать решения этого уравнения:

$$\phi_+ = N e^{-i(m+eV) t} \quad \text{and}\quad \phi_- = N e^{i(m-eV) t}$$

подставив их в приведенное выше уравнение.

Мы хотим знать решение против частиц. Мы получаем это просто комплексным сопряжением:

$$(\phi_+)^\ast = N e^{i(m+eV) t}$$

Поскольку решение с отрицательной энергией связано с античастицами, а решение с отрицательной энергией получается комплексным сопряжением из решения с положительной энергией, оно должно быть таким, не так ли? Но что-то с ним не так. Энергия (модуля) этого раствора античастиц одинакова как для мезона, так и для антимезона. Это странно. Это пренебрегло бы тем, что внешнее поле изменило свою полярность и это должно отразиться на энергии.

Очевидно, мы упустили из виду, что существует второе решение уравнения (2), которое есть$\phi_- = e^{i(m-eV) t}$и его комплексное сопряжение дает:

$$(\phi_-)^{\ast} = N e^{-i(m-eV)t}$$ .

что действительно показывает, что энергия изменяется при изменении полярности электростатического поля. Так что этот самый правильный. Это решение также имеет хорошее свойство распространяться в будущем. Следовательно, вывод состоит в том, что мы получаем правильное решение для античастиц, если мы комплексно сопряжены с отрицательным решением частоты/энергии, а не с положительным решением частоты/энергии. Но на самом деле последний выбор кажется таким очевидным из уравнения (1). Это было причиной моего замешательства.

Однако показанная тесная связь между решением с отрицательной частотой и решением для античастиц через комплексное сопряжение может быть хорошо видна только тогда, когда в расчет принимается внешнее электромагнитное поле. В противном случае можно получить любопытные результаты, такие как (без внешнего ЭМ-поля):

$$((\phi_+)^\ast)^\ast = (\phi_-)^\ast = \phi_+\tag{3}$$

где$\phi_+$слева — раствор частиц, тогда как$\phi_+$справа - раствор против частиц. Первое равенство получается из (0), а второе равенство — из того, что мы только что видели. Ну а (3) отражает тот факт, что частица и античастица должны быть полностью идентичными, если на них не воздействует внешнее ЭМ-поле. Но — это было еще одной причиной моего замешательства — операция в (3) больше похожа на переключение между частицей и античастицей, но на самом деле это не то, как определяется сопряжение заряда. Но при ближайшем рассмотрении видно, что (3) перестает действовать, как только прикладывается ненулевое внешнее ЭМ-поле.