Геометрия черной дыры Шварцшильда в координатах Новикова

Question

Геометрия черной дыры Шварцшильда в координатах Новикова

Физика
Черные-дыры
Сила-тяжести
Общая-относительность

Liberias

Поскольку я являюсь неспециалистом в области гравитации, я был бы очень признателен за любые предложения о том, как подойти и решить следующую проблему:

Выберите симметричную по времени 3-геометрию для начальной геометрии черной дыры Шварцшильда и продолжите слоение пространства-времени в координатах свободного падения. Покажите, что это приводит к метрике Новикова.

Я считаю, что это общая релятивистская проблема начальных значений в формулировке ADM. Я читал, что кривизна пространства-времени может быть интегрирована аналитически только для некоторых очень симметричных и простых случаев, в противном случае необходимо применять приближения и числовые значения.

Моя идея состоит в том, чтобы решить стандартное 3 + 1 разложение (слоение) уравнений поля Эйнштейна (уравнения ADM ). Я бы начал с начальных данных для пространства-времени Шварцшильда в момент симметрии времени и с фиксации калибровки для провала и сдвига $α = 1$ $α = 1$ $α знак равно 1$ и $β_{i} = 0$ $β_{i} = 0$ $β_{i} = 0$ $β_{i} = 0$ $β_{i} = 0$ $β_{i} = 0$ $β_{я} знак равно 0$ , который бы привязывал координаты к наблюдателям свободного падения (также называемый геодезическим срезом ).

В [1, с.535] симметричная по времени 4-геометрия определяется как геометрия, имеющая пространственноподобную гиперповерхность с внешней кривизной 0. Таким образом, это одно ограничение для тензора кривизны исходной 3-геометрии: $K_{i j} = 0$ $K_{i j} = 0$ $K_{i j} = 0$ $K_{i j} = 0$ $K_{i j} = 0$ $K_{i j} = 0$ $К_{я J} знак равно 0$ ,

[1]: Миснер, CW, Торн, KS, Уилер, JA, Гравитация , 1973.

Рон Маймон

Что вы подразумеваете под слоением? Обычные coodinates обеспечивают слоение в обычном смысле постоянными поверхностями времени на внешней стороне.

Рон Маймон

Если вы хотите, чтобы слоение простиралось до горизонта, вы можете использовать нулевые координаты. Не существует динамических уравнений для слоений, потому что они не определены однозначно.

Джерри Ширмер

@liberias: насколько я знаю, это единственный путь. Делаем координатную трансформу, а потом и новиков

T

T

T

будет координата времени, которую вы используете для преобразования. Если вы просто ищете систему координат без сингулярности горизонта, я бы настоятельно предложил координаты Керра-Шильда по системе координат Новикова.

Джерри Ширмер

@liberias: да, это совершенно верно. Единственное, что у вас будет

T_{μ ν} = 0

T_{μ ν} = 0

T_{μ ν} = 0

T_{μ ν} = 0

T_{μ ν} = 0

T_{μ ν} = 0

T_{μ ν} знак равно 0

потому что черная дыра Шварцшильда является вакуумным решением.

Роберт Фильтр

Вы можете найти деривацию здесь: springerlink.com/content/b3x1wkp9m3887g39 . Не вдаваясь в подробности, думаю, это именно то, что вы хотите. поздравил

Ответы (1)

Геометрия черной дыры Шварцшильда в координатах Новикова

Что вы подразумеваете под слоением? Обычные coodinates обеспечивают слоение в обычном смысле постоянными поверхностями времени на внешней стороне.
Если вы хотите, чтобы слоение простиралось до горизонта, вы можете использовать нулевые координаты. Не существует динамических уравнений для слоений, потому что они не определены однозначно.
@liberias: насколько я знаю, это единственный путь. Делаем координатную трансформу, а потом и новиков $T$ $T$ $T$ будет координата времени, которую вы используете для преобразования. Если вы просто ищете систему координат без сингулярности горизонта, я бы настоятельно предложил координаты Керра-Шильда по системе координат Новикова.
@liberias: да, это совершенно верно. Единственное, что у вас будет $T_{μ ν} = 0$ $T_{μ ν} = 0$ $T_{μ ν} = 0$ $T_{μ ν} = 0$ $T_{μ ν} = 0$ $T_{μ ν} = 0$ $T_{μ ν} знак равно 0$ потому что черная дыра Шварцшильда является вакуумным решением.
Вы можете найти деривацию здесь: springerlink.com/content/b3x1wkp9m3887g39 . Не вдаваясь в подробности, думаю, это именно то, что вы хотите. поздравил

Liberias · Answer 1

Геометрия Шварцшильда в координатах Шварцшильда $(t, r, θ, ϕ)$ $(t, r, θ, ϕ)$ $(T, р, θ, φ)$ симметричен по времени

d s^{2} знак равно - (1 - \frac{2 грамм M}{с^{2} р}) с^{2} d T^{2} + {(1 - \frac{2 грамм M}{с^{2} р})}^{- 1} d р^{2} + р^{2} (d θ^{2} + {грех}^{2} θ d φ^{2}),

Система координат Новикова определяется набором геодезических часов. Координатные часы свободно падают с некоторого максимального радиуса $r_{m}$ $r_{m}$ $r_{m}$ $r_{m}$ $р_{м}$ к $r = 0$ $r = 0$ $р знак равно 0$ , где $r_{m}$ $r_{m}$ $r_{m}$ $r_{m}$ $р_{м}$ отличается для каждого часа. Все часы начинают падать в одно и то же время Шварцшильда $t_{0}$ $t_{0}$ $t_{0}$ $t_{0}$ $T_{0}$ и они синхронизируются таким образом, что каждые часы показывают $0$ $0$ $0$ в $r_{m}$ $r_{m}$ $r_{m}$ $r_{m}$ $р_{м}$ , Координата Новикова определена так, чтобы она оставалась постоянной вдоль траектории каждого часа, а для временной координаты берется собственное время.

Отныне метрика угловой части будет опущена, поскольку она остается неизменной. Мы также принимаем $r_{s} = 2 M$ $r_{s} = 2 M$ $r_{s} = 2 M$ $r_{s} = 2 M$ $r_{s} = 2 M$ $r_{s} = 2 M$ $р_{s} знак равно 2 M$ и $G = c = 1$ $G = c = 1$ $грамм знак равно с знак равно 1$ :

d s^{2} знак равно - (1 - \frac{р_{s}}{р}) d T^{2} + {(1 - \frac{р_{s}}{р})}^{- 1} d р^{2},

Геодезические в геометрии Шварцшильда

Чтобы получить уравнение геодезических в геометрии Шварцшильда, мы должны решить уравнения движения свободной частицы:

L знак равно \frac{1}{2} м {грамм}_{μ ν} {\dot{Икс}}^{μ} {\dot{Икс}}^{ν},

{\dot{Икс}}^{μ} знак равно \frac{d {Икс}^{μ}}{d τ} знак равно U^{μ},

L знак равно - \frac{м}{2} (1 - \frac{р_{s}}{р}) {\dot{T}}^{2} + {(1 - \frac{р_{s}}{р})}^{- 1} {\dot{р}}^{2},

\frac{d}{d τ} \frac{\partial L}{\partial {\dot{Икс}}^{μ}} - \frac{\partial L}{\partial {Икс}^{μ}} знак равно 0,

За

μ = 0

μ = 0

μ знак равно 0

мы получаем постоянную движения

\frac{\partial}{\partial τ} [(1 - \frac{р_{s}}{р}) \dot{T}] знак равно 0 \Rightarrow (1 - \frac{р_{s}}{р}) \dot{T} знак равно,

Для временных геодезических: $d s^{2} = - d τ^{2}$ $d s^{2} = - d τ^{2}$ $d s^{2} = - d τ^{2}$ $d s^{2} = - d τ^{2}$ $d s^{2} = - d τ^{2}$ $d s^{2} = - d τ^{2}$ $d s^{2} = - d τ^{2}$ $d s^{2} = - d τ^{2}$ $d s^{2} = - d τ^{2}$ $d s^{2} = - d τ^{2}$ $d s^{2} = - d τ^{2}$ $d s^{2} = - d τ^{2}$ $d s^{2} знак равно - d τ^{2}$ радиальное геодезическое уравнение становится

{(\frac{d τ}{d р})}^{2} знак равно \frac{1}{^{2} - (1 - \frac{р_{s}}{р})},

Максимальный радиус равен (

d r / d τ = 0

d r / d τ = 0

d r / d τ = 0

d r / d τ = 0

d r / d τ = 0

d r / d τ = 0

d r / d τ = 0

d r / d τ = 0

d р / d τ знак равно 0

)

р_{м} знак равно \frac{р_{s}}{1 -^{2}},

Мы используем

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d t}{d r} = \frac{d t}{d τ} \frac{d τ}{d r}

\frac{d T}{d р} знак равно \frac{d T}{d τ} \frac{d τ}{d р}

и получить следующие отношения:

\ begin {eqnarray} \ frac {d \ tau} {dr} & = & \ frac {\ varepsilon} {\ sqrt {\ frac {r_s} {r} - \ frac {r_s} {r_m}}} \ ;, \ label {eq: orbit1} \ \ frac {dt} {dr} & = & \ frac {\ varepsilon \ sqrt {1- \ frac {r_s} {r_m}}} {\ left (1- \ frac {r_s} {r} \ right) \ sqrt {\ frac {r_s} {r} - \ frac {r_s} {r_m}}} \ ;, \ label {eq: orbit2} \ end {eqnarray}

где

ε

ε

ε

является

+ 1

+ 1

+ 1

или же

- 1

- 1

- 1

, Для падающих частиц мы выбираем

ε = - 1

ε = - 1

ε знак равно - 1

,

Новиковская координата времени

Сначала мы преобразуем из $(r, t)$ $(r, t)$ $(р, T)$ в $(r, τ)$ $(r, τ)$ $(r, τ)$ $(r, τ)$ $(р, τ)$ , Из двух последних уравнений получаем $d τ (d t, d r)$ $d τ (d t, d r)$ $d τ (d t, d r)$ $d τ (d t, d r)$ $d τ (d t, d r)$ $d τ (d t, d r)$ $d τ (d t, d r)$ $d τ (d t, d r)$ $d τ (d t, d r)$ $d τ (d t, d r)$ $d τ (d T, d р)$

d τ знак равно {(1 - \frac{р_{s}}{р_{м}})}^{1 / 2} d T + \frac{{(\frac{р_{s}}{р} - \frac{р_{s}}{р_{м}})}^{1 / 2}}{1 - \frac{р_{s}}{р}} d р,

где мы предполагали

t

t

T

являются

r

r

р

известный.

Это можно интегрировать из $r$ $r$ $р$ в $r_{m}$ $r_{m}$ $r_{m}$ $r_{m}$ $р_{м}$ где мы учитываем, что все часы достигают своего максимального радиуса в $τ_{0 i} = 0$ $τ_{0 i} = 0$ $τ_{0 i} = 0$ $τ_{0 i} = 0$ $τ_{0 i} = 0$ $τ_{0 i} = 0$ $τ_{0 я} знак равно 0$ , Следует

τ знак равно {(1 - \frac{р_{s}}{р_{м}})}^{1 / 2} (T - T_{0}) + \int_{р_{м}}^{р} \frac{{(\frac{р_{s}}{Y} - \frac{р_{s}}{р_{м}})}^{1 / 2}}{1 - \frac{р_{s}}{Y}} d Y,

максимальный радиус $r_{m}$ $r_{m}$ $r_{m}$ $r_{m}$ $р_{м}$ здесь функция $r$ $r$ $р$ и \ tau $. Их неявные отношения

τ знак равно - е (р, р_{м}),

где

\ begin {уравнение} f (r, r_m) = \ int_ {r_m} ^ {r} \ frac {dy} {\ sqrt {\ frac {r_s} {y} - \ frac {r_s} {r_m}}} \ label {eq: integra3} = - \ left [\ frac {rr_m} {r_s} (r_m-r) \ right] ^ {1/2} - \ frac {r_m ^ {3/2}} {\ sqrt {r_s }} \ arccos \ left [\ left (\ frac {r} {r_m} \ right) ^ {1/2} \ right] \;. \ label {eq: f} \ end {уравнение}

Теперь мы можем устранить координаты $t$ $t$ $T$ из линейного элемента

d s^{2} знак равно - d τ^{2} + \frac{1}{1 - \frac{р_{s}}{р_{м}}} {[- d р - {(\frac{р_{s}}{р} - \frac{р_{s}}{р_{м}})}^{1 / 2} d τ]}^{2},

Новикова радиальная координата

За радиальную координату возьмем максимальный радиус Шварцшильда $r_{m}$ $r_{m}$ $r_{m}$ $r_{m}$ $р_{м}$ , который остается постоянным вдоль мировой линии геодезических часов.

- d р - {(\frac{р_{s}}{р} - \frac{р_{s}}{р_{м}})}^{1 / 2} d τ знак равно {(\frac{р_{s}}{р} - \frac{р_{s}}{р_{м}})}^{1 / 2} \frac{\partial е}{\partial р_{м}} d р_{м},

С этим мы можем устранить другую координату Шварцшильда

r

r

р

:

d s^{2} знак равно - d τ^{2} + \frac{{[грамм (р, р_{м})]}^{2}}{1 - \frac{р_{s}}{р_{м}}} d р_{м}^{2},

Мы тут

g (r, r_{m})

g (r, r_{m})

g (r, r_{m})

g (r, r_{m})

g (r, r_{m})

g (r, r_{m})

g (r, r_{m})

g (r, r_{m})

грамм (р, р_{м})

является следующим

\begin{array}{rcl} грамм (р, р_{м}) & знак равно & - {(\frac{р_{s}}{р} - \frac{р_{s}}{р_{м}})}^{1 / 2} \frac{\partial е}{\partial р_{м}} & знак равно & 1 + \frac{1}{2} (1 - \frac{р}{р_{м}}) - \frac{3}{4} {(\frac{р_{м}}{р} - 1)}^{1 / 2} [{грех}^{- 1} (\frac{2 р}{р_{м}} - 1) - \frac{π}{2}], \end{array}

r

r

р

больше не радиальная координата, а метрическая функция координат

r_{m}

r_{m}

r_{m}

r_{m}

р_{м}

и

τ

τ

τ

, который неявно задается уравнением ().

Метрика Новикова

Вводя $r_{m}$ $r_{m}$ $r_{m}$ $r_{m}$ $р_{м}$ метрика стала диагональной, как в координатах Шварцшильда. Он также остается диагональным, вводя новую радиальную координату, которая функционально связана только со старой. Выбор Новикова $r^{*}$ $r^{*}$ $r^{*}$ $r^{*}$ $р^{*}$ со следующим монотонным отношением к $r_{m}$ $r_{m}$ $r_{m}$ $r_{m}$ $р_{м}$ :

р^{*} знак равно {(\frac{р_{м}}{р_{s}} - 1)}^{1 / 2},

Метрика теперь становится

d s^{2} знак равно - d τ^{2} + 4 р_{s}^{2} ({р^{*}}^{2} + 1) {[грамм (р, р^{*})]}^{2} d {р^{*}}^{2},

Мы можем показать, что справедливо также следующее

4 M грамм (р, р^{*}) знак равно \frac{1}{р^{*}} \frac{\partial р}{\partial р^{*}},

При этом метрика приобретает стандартную в литературе форму [MTW, с. 826]:

d s^{2} знак равно - d τ^{2} + (\frac{{р^{*}}^{2} + 1}{{р^{*}}^{2}}) {(\frac{\partial р}{\partial р^{*}})}^{2} d {р^{*}}^{2} + р^{2} (d θ^{2} + {грех}^{2} θ d φ^{2}),

где мы также включили угловую часть.

Отношения между координатами

Теперь приведем соотношение между координатами Шварцшильда. $(t, r)$ $(t, r)$ $(T, р)$ и новиковские координаты $(τ, r^{*})$ $(τ, r^{*})$ $(τ, r^{*})$ $(τ, r^{*})$ $(τ, r^{*})$ $(τ, r^{*})$ $(τ, r^{*})$ $(τ, r^{*})$ $(τ, р^{*})$ , Первый, $r = (τ, r^{*})$ $r = (τ, r^{*})$ $r = (τ, r^{*})$ $r = (τ, r^{*})$ $r = (τ, r^{*})$ $r = (τ, r^{*})$ $r = (τ, r^{*})$ $r = (τ, r^{*})$ $р знак равно (τ, р^{*})$ , получается из уравнений () и ()

τ знак равно р_{s} ({р^{*}}^{2} + 1) {[\frac{р}{р_{s}} - \frac{(р / р_{s})^{2}}{{р^{*}}^{2} + 1}]}^{1 / 2} + р_{s} {({р^{*}}^{2} + 1)}^{3 / 2} агссоз [{(\frac{р / р_{s}}{{р^{*}}^{2} + 1})}^{1 / 2}],

Второй,

t = (τ, r^{*})

t = (τ, r^{*})

t = (τ, r^{*})

t = (τ, r^{*})

t = (τ, r^{*})

t = (τ, r^{*})

t = (τ, r^{*})

t = (τ, r^{*})

T знак равно (τ, р^{*})

, получается интегрированием из ()

\ begin {уравнение} t = r_s \ ln \ left | \ frac {r ^ * + \ left (\ frac {r_s} {r} \ left ({r ^ } ^ 2 + 1 \ right) -1 \ right) ^ {1/2}} {r ^ - \ left (\ frac {r_s} {r} \ left ({r ^ *} ^ 2 + 1 \ right) -1 \ right) ^ {1/2}} \ правый | + r_sr ^ \ left [\ left ({r ^ } ^ 2 + 3 \ right) \ arctan \ left (\ frac {r_s} {r} \ left ({r ^ } ^ 2 + 1 \ right) - 1 \ right) ^ {1/2} + \ left ({r ^ } ^ 2 + 1 \ right) \ frac {\ sqrt {\ frac {r_s} {r} \ left ({r ^ *} ^ 2+ 1 \ right) -1}} {\ frac {r_s} {r} \ left ({r ^ *} ^ 2 + 1 \ right)} \ right] \ ;. \ Конец {} уравнение

Геометрия черной дыры Шварцшильда в координатах Новикова

Liberias

Рон Маймон

Рон Маймон

Джерри Ширмер

Джерри Ширмер

Роберт Фильтр

Ответы (1)

Liberias

Геодезические в геометрии Шварцшильда

Новиковская координата времени

Новикова радиальная координата

Метрика Новикова

Отношения между координатами

Коэффициент 4 (или 2) в гравитоэлектромагнитном (GEM) законе силы Лоренца. Что правильно? Почему это там?

Электромагнитная черная дыра?

Вариация модифицированного действия Эйнштейна Гильберта

Дифференциальные и многоступенчатые усилители (BJT)

Как переписать функцию перевода в стандартную форму?

Sourcing тонкий 3,5 мм разъем для стерео разъема [закрыт]

ϕ 4 ϕ4 теория кинков как фермионов?

Великая каноническая молекулярная адсорбция на поверхности

Порт STM32f4 для HAL: USB HID отбрасывает пакеты

Броуновское движение: ожидаемое значение четных степеней скоростной корреляционной функции