Можно ли физически реализовать волновой пакет в виде ряда Фурье?

Другой взгляд на это, который, как я НЕ верю, противоречит ответу Терри Боллинджера : независимо от того, выражаете ли вы волновую функцию в координатах положения или, как ее преобразование Фурье, т.е. в координатах импульса, две модели в точности совпадают. такой же. Таким образом, ни выражение волновой функции с позиционной координатой (такое, какое вы найдете в решении привычной для химиков формы уравнения Шредингера или Дирака для атома водорода), ни ее преобразование Фурье не являются менее «реальными» или «физическими», чем другой.

С технической точки зрения, чаще всего в квантовой механике мы берем пространство функций как сепарабельное ( т.е. имеющее счетную базу) гильбертово пространство.$\mathcal{L}^2(\mathbb{R}^N)$функций, интегрируемых с квадратом по Лебегу (ну почти: см. сноску). Такие функции являются собственным подмножеством так называемых умеренных распределений, представляющих собой математические объекты (расширенные понятия, обобщающие функции), для которых:

Само распределение и его преобразование Фурье представляют собой точно такую ​​же информацию

Одно может быть обратимо преобразовано в другое с помощью взаимно однозначного преобразования ( т. е . преобразования Фурье), которое также является унитарным, когда мы ограничиваемся$\mathcal{L}^2(\mathbb{R}^N)$. Если вам нужна дополнительная информация о умеренных распределениях, я дам больше информации здесь, в моем ответе на вопрос «Какие ограничения на временные граничные условия имеет использование преобразования Фурье для решения волнового уравнения?» а также здесь, в ответ на вопрос «Все ли состояния рассеяния ненормируемы?» и здесь .

Ответ Терри заключается в том, что плоские волны и дельта-функции, «собственные функции» наблюдаемых импульса и положения, соответственно, не принадлежат пространству квантовых состояний.$\mathcal{L}^2(\mathbb{R}^N)$физических волновых функций: они не интегрируемы по Лебегу. Таким образом, эти наблюдаемые на самом деле не имеют собственных функций в этом квантовом пространстве. Это помогает нашей интуиции расширить гильбертово пространство до более продвинутой концепции оснащенного гильбертова пространства, чтобы мы могли строго говорить о них как о векторах расширенного понятия наблюдаемых в расширенной структуре. Но физические волновые функции имеют конечную протяженность и поэтому всегда имеют ненулевой разброс в своих преобразованиях Фурье.

Сноска : Точнее: мы принимаем наше квантовое пространство состояний как гильбертово пространство классов эквивалентности интегрируемых по Лебсегю функций по модулю равенства отношений почти везде (см. Вики-страницу «Почти везде») . Итак, мы говорим о$\mathcal{L}^2(\mathbb{R}^N)\,/\,\sim$, где$\sim$равенство почти везде. Другой способ сказать то же самое, мы можем считать это размахом сложного счетного набора базисных функций, таких как собственные функции квантового гармонического осциллятора)

Чистая плоская волна не является физически реализуемым состоянием реальной частицы, потому что для этого потребовалось бы, чтобы волновая функция частицы распространялась на бесконечное пространство. Даже если Вселенная открыта и бесконечна по размеру, она существует только конечное время, поэтому ни у одной волновой функции частицы не было бы достаточно времени, чтобы вырасти до бесконечности.