Ответ Нойнека - это самое содержательное описание того , как вы получаете нормализуемые состояния как суперпозиции ненормализуемых состояний, но следующее - это скорее «почему» эти состояния происходят. Надеюсь, вы должны увидеть, что это обсуждение не зависит от количества измерений.

Практически говоря, причина, по которой всегда существуют такие состояния, заключается в том, что наблюдаемые удовлетворяют каноническому коммутационному соотношению$[X,P]=i\,\hbar\,I$имеют собственные векторы, которые не нормализуются.

На самом деле нет причин, по которым мы должны иметь собственные векторы, поэтому на более глубоком уровне основными причинами, по которым всегда существуют ненормализованные состояния, являются (1) удобство — потребность в овладении математическим описанием и (2) математическая изобретательность люди, которые дали нам это мощное и удобное математическое описание — прежде всего гений (в приблизительном историческом порядке) Поля Дирака, Лорана Шварца, Александра Гротендика и Исраэля Гельфанда. Это обсуждение сохраняет интуитивные идеи собственных векторов и других удобных инструментов на единой и строгой основе.

---

Идеи заземления

Основой квантовой механики является гильбертово пространство, а именно полное (в том смысле, что каждая последовательность Коши сходится к элементу пространства) векторное пространство, снабженное скалярным произведением (банаховы пространства являются более слабой и более общей концепцией — будучи полным вектором пространства, снабженные просто нормой.Норма в гильбертовом пространстве получается из скалярного произведения вектора на самого себя).

Итак, интуитивно это комплексное векторное пространство, подобное$\mathbb{C}^N$с «без дыр в нем», поэтому мы можем говорить о пределах и заниматься исчислениями, не беспокоясь о том, существуют ли пределы и где мы можем говорить о линейной суперпозиции и где мы можем однозначно «разлагать» векторы на компоненты через внутренний продукт. Так что это в значительной степени пространство состояний любой физической системы, если не считать того, что она сложная, что немного необычно.

Теперь рассмотрим идею линейного функционала в гильбертовом пространстве.$\mathcal{H}$. Это просто линейная функция$L:\mathcal{H}\to\mathbb{C}$отображение гильбертова пространства$\mathcal{H}$к основному полю (в данном случае$\mathbb{C}$. Внутренний продукт для некоторого фиксированного "бюстгальтера"$\ell\in\mathcal{H}$, а именно функция$x\mapsto\left<\ell,x\right>$явно является частным случаем этого линейного функционального понятия. Однако в гильбертовом пространстве каждый непрерывный линейный функционал действительно может быть представлен внутренним произведением «фиксированного бюстгальтера», и, поскольку каждое внутреннее произведение фиксированного бюстгальтера явно индуцирует непрерывный линейный функционал, идеи непрерывного линейного функционала и скалярного произведения с фиксированным бюстгальтером в точности одно и то же : эта эквивалентность НЕ выполняется ни в одном старом векторном пространстве. Это ключевое свойство эквивалентности, характерное для гильбертовых пространств, является предметом теоремы о представлении Рисса (см. Вики-страницу с таким названием) . Итак, непрерывный (топологический) двойственный$\mathcal{H}^*$из$\mathcal{H}$, являющееся лаконичным названием векторного пространства непрерывных линейных функционалов на$\mathcal{H}$, изоморфно исходному гильбертовому пространству .

Можно показать, что это альтернативное и в целом эквивалентное определение «гильбертова пространства», как и приведенное выше (т. Е. Полное пространство внутреннего продукта):

Пространство внутреннего продукта, изоморфное своему двойственному пространству непрерывных линейных функционалов .

Все это очень красиво и привлекательно для описания таких вещей, как квантовая механика. Это также очень просто в квантовых системах конечной размерности, таких как, например , электрон, ограниченный состоянием суперпозиции состояний со спином вверх и вниз. В конечных размерностях нет никакой разницы между понятиями непрерывного линейного функционала и более общим понятием просто линейного функционала (*т.е. без учета непрерывности).

---

Оснащение гильбертова пространства: ненормируемые состояния

В бесконечных измерениях — как в квантовом пространстве состояний гармонического осциллятора или электрона, связанного с потенциалом, — мы встречаемся с ошибкой:

Не все линейные функционалы непрерывны.

ОООПС: так же, как мы жаждем iPhone 5 нашего соседа, когда у нас есть «только» модель 4, мы также жаждем более сильной концепции, чем гильбертово пространство, в которой обновление программного обеспечения сделало бы все «полезные» линейные функционалы непрерывными!

Менее легкомысленно, здесь мы переходим к практике. В квантовой механике нам нужно реализовать принцип неопределенности Гейзенберга, поэтому нам нужны эрмитовы наблюдаемые . $\hat{X}$а также$\hat{P}$выполнение канонического коммутационного соотношения (CCR)$[\hat{X},\,\hat{P}]=i\,\hbar\,I$(см. мой ответ здесь и здесь ). Несложно показать, что квантовое пространство, действительно реализующее HUP, не может быть конечномерным — если бы это было так, то$\hat{X}$а также$\hat{P}$будет иметь квадратные матричные представления и скобку Ли$[\hat{X}, \hat{P}]$между любой парой конечных квадратных матриц имеет нулевой след, тогда как правая часть CCR заведомо не имеет нулевого следа. Поэтому мы считаем их операторами в гильбертовом пространстве$\mathbf{L}^2(\mathbb{R}^N)$, являющееся гильбертовым пространством с размерностью$\aleph_0$, т. е. имеет счетно бесконечные базисные векторы, например, собственные функции$N$-размерный гармонический осциллятор. Векторы в этом гильбертовом пространстве являются «повседневными волновыми функциями».$\psi:\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}^N$по замыслу Шредингера с важнейшим свойством нормализуемости :

$$\int\limits_{\mathbb{R}^N} |\psi(\vec{x})|^2\,{\rm d}^N x < \infty$$

Теперь для удобства мы хотим работать в координатах, в которых одна из$\hat{X}$а также$\hat{P}$это простой оператор умножения$X \psi(x) = x\,\psi(x)$. В моем ответе здесь я показываю, что это означает, что есть координаты, где$X \psi(x) = x\,\psi(x)$и по необходимости$\hat{P} \psi(x) = -i\,\hbar \,{\rm d}_x \psi(x)$.

Однако ни один из этих операторов не определен во всем нашем гильбертовом пространстве. $\mathcal{H} = \mathbf{L}^2(\mathbb{R}^N)$: есть векторы (функции)$f$в$\mathbf{L}^2(\mathbb{R}^N)$( например , функции с разрывами скачков), которые не имеют определенного$P\,f\in\mathcal{H}$, из-за неопределенности производной на разрыве. Аналогично, некоторые нормализуемые функции$g$не имеют определенного$X\,g\in\mathcal{H}$; умножение на$\vec{x}$делает их ненормируемыми (например, функция$f(x) = (1+x^2)^{-1}$).

Кроме того, ни одна из этих функций не имеет собственных векторов в$\mathcal{H}$: если$X\,f(x) = \lambda f(x) = x f(x)\,\forall x\in\mathbb{R}$тогда$f(x) = 0$за$x\neq\lambda$и собственная функция$e^{i\,k\,x}$из$P$не нормализуется.

Но мы хотим сохранить идею собственных состояний и по-прежнему иметь возможность записывать наши состояния в координатах положения или импульса.

Вот тут-то и появляется понятие оснащенного гильбертова пространства — изобретательный процесс, в ходе которого мы собираем плотное подмножество.$S\subset H$исходного гильбертова пространства$H$(«подстроить») с более сильной топологией, так что такие вещи, как дельта Дирака, включены в топологическое двойственное пространство.$S^*$куда$S\subset H\subset S^*$.

В качестве QM возьмем плотное подмножество$S$быть «гладкими» функциями, которые по-прежнему принадлежат$\mathcal{H}$при отображении любым членом алгебры операторов, порожденных$X$а также$P$. То есть,$S$инвариантна относительно этой алгебры и содержит в точности пространство Шварца функций, которые могут быть умножены на любой многочлен и продифференцированы любое число раз и при этом принадлежат$\mathcal{H}$. Любая функция в$\mathcal{H}$может быть сколь угодно хорошо аппроксимирован (относительно нормы гильбертова пространства) некоторой функцией из$S$.

При этом набираем плотное подмножество$S$out с более сильной топологией, чем исходная топология гильбертова пространства. Почему мы это делаем? Одна из основных проблем с$\mathcal{H}$это дельта Дирака$\delta:\mathbf{L}^2(\mathbb{R})\to \mathbb{C};\;\delta\;f(x) = f(0)$, который можно представить как собственный вектор$X$, не является непрерывным линейным функционалом на$\mathcal{H}$хотя, конечно, это линейный функционал. Чтобы убедиться в этом, рассмотрите изображение$f(x) + \exp(-x^2/(2 \sigma^2)$под дельта-функционалом: мы можем выбрать$\sigma$сделать эту функцию сколь угодно близкой к$f(x)$как измеряется$\mathbf{L}^2$норм, но с картинками$f(0)$а также$f(0)+1$, соответственно, при Дираке$\delta$. Итак, мы комплектуем плотное подмножество$S$создать топологию, достаточно сильную, чтобы «отыскать» все полезные линейные функционалы и сделать их непрерывными. Теперь у нас есть топологический дуал (пространство всех линейных функционалов, непрерывное относительно более сильной топологии)$S^*$из$S$такой, что$S\subset\mathcal{H} = \mathcal{H}^*\subset S^*$.

$S^∗$это пространство умеренных дистрибутивов, как обсуждалось в моем ответе здесь .$S^∗$включает дельту Дирака,$e^{i\,k\,x}$и биективно, изометрически отображается на себя преобразованием Фурье. Интуитивно понятно, что функции и их преобразования Фурье представляют собой точно такую ​​же информацию для умеренных распределений. Это связано с тем фактом, что координата положения и импульса отображаются друг в друга с помощью преобразования Фурье и его обратного преобразования.

Так что у нас это. Теперь у нас есть место для бюстгальтеров$S^*$что строго больше пространства кетов$\mathcal{H}$и он обязательно включает, по построению оснащенного гильбертова пространства, ненормируемые лифчики в$S^*\sim\mathcal{H}$просто для того, чтобы мы могли строго обсудить собственные состояния всех наблюдаемых, которые нам нужны.

Хорошие ссылки для этого понятия:

1. Этот ответ на вопрос Physics Stack Exchange «Фальсифицированное гильбертово пространство и QM», а также
2. Обсуждения в рамках вопроса Math Overflow «Хорошие ссылки на оснащенные гильбертовы пространства?»

В последнем подозрения Тодда Тримбла верны, что обычная тройка Гель'Фанда является$S\subset H = \mathbf{L}^2(\mathbb{R}^N)\subset S^*$с$S$,$S^∗$будучи пространством Шварца и умеренными распределениями, как обсуждалось в моем ответе здесь . Статья в Википедии о фальсифицированном гильбертовом пространстве немного проливает свет на это: там много подробностей о ядерных пространствах, которые замалчиваются, поэтому при первом чтении я бы посоветовал вам взять конкретный пример.$S$= пространство Шварца и$S^∗$= Закаленные дистрибутивы , и держите в уме этот относительно простой (и наиболее подходящий для QM) пример — для QM вам больше ничего не понадобится. Пространство Шварца и пространство умеренных дистрибутивов автоматически являются ядерными, так что вам не нужно слишком беспокоиться об этой идее при первом чтении.

Рассеянные состояния действительно ненормализуемы. Это связано с тем, что плоская волна является нефизическим состоянием (что вы можете, например, увидеть, попытавшись вычислить неопределенность Гейзенберга, которая будет читаться как$\Delta x \cdot \Delta p = \infty \cdot 0 = ??$).

Чтобы создать физическое состояние, вам необходимо указать граничные условия, то есть физическую волновую функцию в данный момент времени.$\Psi(t = 0)$. Это всегда можно записать как суперпозицию плоских волн

$$\Psi(t=0) = \int \mathrm dE \; \tilde g(E) \psi(E)$$ куда $\tilde g$является «конвертом» вашей функции и $\psi(E)$являются решениями стационарного уравнения Шредингера $$\hat H \psi(E) = E \cdot \psi(E)$$ Если это выполняется, ваша полная волновая функция $\Psi(t)$будет удовлетворять зависящему от времени уравнению Шредингера.