Можно ли рассматривать тензорное произведение двух функциональных пространств как функциональное пространство?

Набор$V_N$функций$\mathbb{R}^{3N}\to (\mathbb{C}^4)^{\otimes N}$имеет естественную структуру пространства комплексных векторов, индуцированную

$$(a\psi + b\phi)(\vec{x}) := a \psi(\vec{x})+ b\phi(\vec{x}) \quad \mbox{for every $\vec{x} \in \mathbb{R}^{3N}$}$$ где $a,b \in \mathbb C$и $\psi,\phi$карты $\mathbb{R}^{3N}\to (\mathbb{C}^4)^{\otimes N}$. В частности, это касается $V_1$. Поэтому $V_1\otimes \cdots \mbox{($N$-times)}\cdots\otimes V_1$является хорошо определенным комплексным векторным пространством. Легко доказать, что отображение $$f: V_1\times \cdots \mbox{($N$-times)}\cdots \times V_1 \ni (\psi_1, \ldots, \psi_N) \to \Psi \in V_{N}$$ такой, что $$\Psi(\vec{x}, \ldots, \vec{x}_n) := \psi_1(\vec{x}_1) \otimes \cdots \otimes \psi_1(\vec{x}_N) \quad \mbox{for every $\vec{x_i}\in \mathbb R^3$}$$ (тензорное произведение здесь есть произведение между пространствами $\mathbb C^4$) является полилинейным . Универсальное свойство тензорного произведения означает, что существует единственное линейное отображение $$f_\otimes: V_1\otimes \cdots \mbox{($N$-times)}\cdots \otimes V_1 \to V_{N}$$ такой, что $$f_\otimes: V_1 \otimes \cdots \mbox{($N$-times)}\cdots \otimes V_1 \ni (\psi_1, \ldots, \psi_N) \to \Psi \in V_{N}\:.$$ (Приведенное выше тензорное произведение — это произведение пространств функций $V_1$не из волокон $\mathbb C^4$.) Карта $f_\otimes$это линейный гомоморфизм, который вы ищете. Действительно, $f_\otimes$является инъективным, и, таким образом, у вас есть идентификация, которую вы ищете. К сожалению, у меня не так много времени, чтобы исправить детали, но способ доказательства инъективности должен быть таким.

Если$\{\psi_k\}_{k \in K}$является гамелевским базисом$V_1$(лемма Цорна уверяет, что оно существует), легко доказать, что$\{\psi_{k_1} \otimes \cdots \otimes \psi_{k_N}\}_{k_1,\ldots, k_N \in K}$является гамелевским базисом$V_1 \otimes \cdots \otimes V_1$ $N$раз. По построению получается, что ядро$f_\otimes$состоит из конечных линейных комбинаций

$$\sum_{k_1,\ldots, k_N \in K} C^{k_1\ldots k_N} \psi_{k_1} \otimes \cdots \otimes \psi_{k_N}=0$$ С $\{\psi_{k_1} \otimes \cdots \otimes \psi_{k_N}\}_{k_1,\ldots, k_N \in K}$является базисом Гамеля, мы заключаем, что каждый $C^{k_1\ldots k_N}=0$и поэтому $Ker(f_\otimes)= \{0\}$.

ПРИЛОЖЕНИЕ . Конструкция выдерживает введение естественных топологий и обращение к связанным топологическим структурам тензорного произведения. Например,$V_N$можно снабдить естественной структурой гильбертова пространства и$f_\otimes$можно определить с элементарными приспособлениями как гомоморфизм гильбертова пространства.

В соответствии с обозначениями Вальтера$V_N=\{\mathbb R^{3N}\to (\mathbb C^4)^{\otimes N}\}$Я думаю, что есть взаимно однозначное соответствие между$V_N$и$V_1^{\otimes N}$потому что

$$\mathrm{dim } \,V_1=(\mathrm{dim }\, \mathbb C^4)^{\left|{\mathbb R^3}\right|}$$ более того $$\mathrm{dim }\,V_1^{\otimes N}=(\mathrm{dim }\,V_1)^N=(\mathrm{dim } \,\mathbb C^4)^{N\left|{\mathbb R^3}\right|}$$ тогда как $$\mathrm{dim }\,V_N=(\mathrm{dim }\,((\mathbb C^4)^{\otimes N}))^{\left| \mathbb R^{3N}\right|}=(\mathrm{dim }\, \mathbb C^4)^{N\left|{\mathbb R^{3N}}\right|}$$ но с тех пор $\left|\mathbb R^3\right| =\left|\mathbb R^{3N} \right|$они имеют одинаковую размерность ( $2^\mathfrak c$), таким образом, изоморфны.