Нахождение собственных состояний вращения вверх/вниз в произвольном направлении

Допустим, у меня есть некоторая частица в произвольном состоянии, где ее кет-вектор задан как линейная комбинация собственного состояния со спином вверх и собственного состояния со спином вниз. Квадрат величины a, который является коэффициентом перед собственным состоянием со спином вверх, дает вероятность того, что измерение частицы дает спин вверх, и в этом случае угловой момент вращения (для краткости SAM) указывает в том же направлении, что и наше ось Z. То же самое относится к b, который является фактором перед собственным состоянием со вращением вниз, за ​​исключением того, что он дает вероятность получения замедления вращения, и в этом случае SAM указывает антипараллельно оси z.

Но теперь предположим, что мы хотим измерить вращение частицы в каком-то произвольном направлении, возможно, вдоль некоторого вектора x. Учитывая, что частица находится в том же состоянии, что и раньше, какова теперь вероятность увеличения скорости вращения (в этом случае SAM указывает вдоль x) и вероятность уменьшения скорости вращения (SAM направлена ​​антипараллельно x)?

Иными словами, как я могу выразить собственные состояния вращения вверх/вниз вдоль x в терминах наших предыдущих состояний вращения вверх/вниз (которые указывают вдоль оси z)? Используя это, я могу легко вычислить указанные выше вероятности, рассчитав квадрат величины внутреннего произведения между новыми собственными состояниями и волновой функцией.

Ответы (2)

Вы можете использовать проекционные операторы

п ± "=" 1 2 ( 1 + н ⋅ о ) .
Применительно к любому начальному состоянию они дают вам собственные состояния н ⋅ о со спиной ± вдоль направления, заданного вектором unt н .

Для малых матриц проекционные операторы обычно являются самым быстрым маршрутом собственных векторов.

Вау, это выглядит действительно круто. Мне удалось найти общий вид двух ортонормированных собственных векторов (с точки зрения предыдущих собственных состояний) этого оператора, но мне пришлось проверить, что они работают с помощью «грубой силы», но это кажется очень простым способом их найти на практике. По крайней мере, это намного проще, чем метод, представленный MannyC. Спасибо тебе за это!

Чтобы вычислить компоненты спина вдоль н ^ рассмотрим матрицу

о н ≡ н ^ ⋅ о → .
Диагонализация о н и найти список собственных векторов | я ⟩ н . Затем выразите свой кет в терминах этого базиса. Итак, найдите коэффициенты с я в
| у о ты р с т а т е ⟩ "=" ∑ я с я | я ⟩ н .
Вероятность наличия спина я вдоль н ^ является | с я | 2 .

В качестве проверки работоспособности, если вы хотите измерить вращение вдоль г ^ , затем о н "=" о 3 , который уже является диагональным. Итак, коэффициенты с я являются лишь компонентами вашего набора.

Кстати, это процедура для всех операторов, а не только для спина.

Спасибо за ответ. Не могли бы вы предоставить какой-нибудь источник, где я могу прочитать больше об этом? Я с трудом нашел что-нибудь об этом, та
вот почему я спросил здесь об обмене физическими стеками
беда*, а не ворчание
Вы пробовали некоторые учебники QM? Как Сакурай или Гриффитс-Шретер? (К вашему сведению, есть кнопка для редактирования комментариев в течение первых 5 минут или около того)
Да, у меня есть Griffiths (Введение в QM, третье издание), но я нигде не видел, чтобы это упоминалось конкретно. Я хотел бы получить конкретные номера страниц, если он действительно говорит об этом.
Посмотрите учебник Шанкара по квантовой механике. Глава 1 (длинный математический обзор) содержит большую часть необходимой вам информации об обозначениях Дирака, переводе вещей в базис собственных значений и поиске вероятностей. Я думаю, что в Интернете есть книга в формате pdf.
Нахождение собственных состояний вращения вверх/вниз в произвольном направлении
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v