Можно ли сгенерировать все канонические преобразования с помощью производящей функции?

В классической механике калибровочное преобразование имеет вид

$$\begin{equation} L \to L' = L + \frac{dF(q,t)}{dt} \, . \end{equation}$$ Любое преобразование такого рода оставляет уравнение Эйлера-Лагранжа инвариантным, поскольку дополнительный член$\frac{dF(q,t)}{dt}$тут просто выпадает.

Напротив, уравнение Эйлера-Лагранжа, вообще говоря, ковариантно только относительно точечных преобразований$q \to Q=Q(q,t)$. Конкретно, уравнение Эйлера-Лагранжа читается в исходных координатах

$$\begin{equation} \frac{\partial \mathcal{L}(q,\dot q,t)}{\partial q}= \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}(q,\dot q,t)}{\partial \dot{q}}\right) \end{equation}$$ а в новых координатах $$\begin{equation} \frac{\partial \mathcal{L}'(Q,\dot Q,t)}{\partial Q}= \frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}'(Q,\dot Q,t)}{\partial \dot{Q}}\right) \end{equation}$$ Но в целом у нас $$\mathcal{L}'(Q,\dot Q,t) \neq \mathcal{L}(Q,\dot Q,t) \, .$$ Поэтому при общих преобразованиях координат уравнение Эйлера-Лагранжа сохраняет свой вид, но не является инвариантным.

---

Теперь в гамильтоновом формализме мы рассматриваем преобразования фазового пространства и обычно сосредотачиваемся на канонических преобразованиях. Определяющим условием канонического преобразования является сохранение формы уравнений Гамильтона, т.е. ковариантность .

Однако на втором этапе обычно обсуждаются канонические преобразования с использованием так называемых производящих функций. Они проявляются, если мы выводим уравнения Гамильтона, используя принцип наименьшего действия для гамильтонова лагранжиана

$$L_H = p \dot q- H \,.$$ Основной аргумент заключается в том, что если мы хотим получить то же самое уравнение, если поменяем координаты, у нас будет условие $$L_H - L_H' = \frac{dF}{dt}$$ $$\therefore \quad p \dot q- H - (P \dot Q- K) = \frac{dF}{dt} \, ,$$ где$K= H(q(Q,P),p(Q,P)$есть гамильтониан в новых координатах$Q,P$. На словах это означает, что преобразование$q,p \to Q,P$что приводит не более чем к изменению лагранжевого гамильтониана, который можно записать в виде полной производной, дает те же уравнения Гамильтона.

Однако, насколько я понимаю, это чрезвычайно строгое условие, которое включает только преобразования, оставляющие уравнение Гамильтона инвариантным . Но, как утверждалось выше, общее каноническое преобразование требуется только для того, чтобы оставить форму уравнений Гамильтона неизменной.

Поэтому мой вопрос: можно ли сгенерировать все канонические преобразования с помощью производящей функции?

Следуя моим рассуждениям выше, кажется, что, поскольку для общих канонических преобразований нам требуется только ковариантность уравнений Гамильтона, они не включаются в анализ производящей функции, который основан на условии инвариантности уравнений Гамильтона.