Что демонстрирует книга

В серьезной классической механике автор тратит некоторое время на обсуждение того, как точечные преобразования в конфигурационном пространстве соответствуют каноническим преобразованиям в фазовом пространстве:

В частности, с помощью этого доказательства автор демонстрирует , что точечное преобразование$q \mapsto Q = Q(q)$подразумевает, что$p \mapsto P = \frac{\partial q}{\partial Q} p$.

Чем это не контрпример?

Я не сомневаюсь в доказательстве, но мне трудно понять это интуитивно. Например, предположим, что мы находимся в контексте падающего мяча, где мы можем продемонстрировать с помощью лагранжиана, что$p = m \dot{q}$. Мне кажется, что если$\dot{q} \mapsto \frac{\partial Q}{\partial q} \dot{q}$, затем$p = m \dot{q}$затем будет сопоставлен с

$$P = m \left( \frac{\partial Q}{\partial q} \dot{q} \right) = \frac{\partial Q}{\partial q} \left( m \dot{q} \right) = \frac{\partial Q}{\partial q} p$$

и, конечно, это противоречит идее о том, что$p \mapsto P = \frac{\partial q}{\partial Q} p$. Что не так с моими рассуждениями?