Как вывести уравнение движения Лагранжа из уравнения Рута?

№ Координата$r$по-прежнему следует уравнению Эйлера-Лагранжа, но$\phi$и$p_\phi$следуйте уравнениям Гамильтона. Но они тривиальны, в этом вся суть рутианина. Мотивация в том, что руфиан на самом деле не$R(r, \dot r, \phi, p_\phi)$но просто$R(r, \dot r)$с постоянным параметром$p_\phi$.$\phi$не является координатой, потому что по определению это была циклическая координата в лагранжиане, и поэтому она не появляется и в рутиане. Импульс$p_\phi$, между тем, сохраняется, так что на самом деле это просто некоторая константа. С обоими этими условиями мы можем просто убрать их обоих, вызвать$p_\phi$константа, и мы приходим к проблеме с меньшим эффективным размером на 1. То же самое было бы верно, используя полный гамильтониан, но иногда с лагранжианами легче работать для «сложной» части проблемы (нециклические координаты), а рутиан позволяет вам оставаться «лагранжианом» для сложной части.

Вот конкретный пример. Возьмем лагранжиан, описывающий гармонический потенциал в полярных координатах:

С$\phi$не входит в лагранжиан, это циклическая координата. Из уравнения Эйлера-Лагранжа

следует, что

является сохраняющейся величиной. было бы неплохо взять$\dot\phi$из набора координат и просто замените его константой$p_\phi$. Тогда у нас, по сути, был бы лагранжиан, единственными координатами которого являются$r$и$\dot r$, только с постоянным параметром$p_\phi$. Чтобы сделать это правильно, нужно сделать Routhian

(Кроме того: попробуйте решить$\dot \phi$с точки зрения$p_\phi$и подставить в лагранжиан. Вы получите что-то совсем другое, что приведет к очень неправильным результатам. Если вы хотите удалить циклическую координату, вы должны выполнить преобразование Лежандра относительно этой координаты.).

Поскольку преобразование Лежандра было выполнено относительно$\theta$и$\phi$, эти координаты следуют уравнениям Гамильтона (с соответствующей сменой знака). Но это тривиально:

Здесь мы достигли, по сути, разделения переменных.$\phi$имеет собственное уравнение движения, которое включает$r$, но уравнение движения$r$не зависит от$\phi$. Мы можем решить уравнение движения$r$, которая фактически является одномерной задачей, а затем вернитесь, чтобы выяснить, как$\phi$развивается.

Эффективная одномерная задача имеет эффективный потенциал

Этот лишний член, который взрывается при малых$r$, называется центробежным барьером и объясняет тот факт, что сохранение углового момента затрудняет / делает невозможным достижение рассматриваемой частицей начала координат. Координаты$r$и$\dot r$не применялось преобразование Лежандра, поэтому они по-прежнему следуют уравнению Эйлера-Лагранжа

Последующий вопрос может быть таким: «Да, удобно не оставаться с полным лагранжианом, но почему бы просто не использовать полный гамильтониан?» Ответ здесь, вероятно, зависит от контекста конкретной проблемы. С помощью Routhian нам нужно решить дифференциальное уравнение 2-го порядка, а затем интеграл, чтобы найти eom$\phi$. С полным гамильтонианом у нас была бы система из двух дифференциальных уравнений 1-го порядка, за которыми следует тот же интеграл. Один из них может быть проще решить или лучше в вычислительном отношении и т. д.

1. Параметр. Представьте, что конфигурационное пространство состоит, скажем, как из мелких, так и из капитальных обобщенных позиций. $q^j$и$Q^J$, с соответствующими скоростями$v^j$и$V^J$, и импульсы$p_j$и$P_J$, соответственно.

2. Рутиан. Рутиан _

   $$\begin{align}R(q,Q,v,P,t) ~=~&V^JP_J-L(q,Q,v,V,t)\cr ~=~& H(q,Q,p,P,t)-v^jp_j \end{align} \tag{R}$$ представляет собой гибрид между [и частичным преобразованием Лежандра скорости-импульса от] лагранжиана $$L(q,Q,v,V,t)\tag{L}$$ и гамильтониан $$H(q,Q,p,P,t),\tag{H}$$ так что малые переменные скорости$v^j$и переменные импульса капитала$P_J$хранятся.

3. Принцип действия . Уравнения Рута - это уравнения Эйлера-Лагранжа (EL) для действия Рута.

   $$S_R[q,Q,v,P]~=~\int \! dt~L_R(q,Q,\dot{q},\dot{Q},P,t), \tag{SR}$$ с лагранжианом Рута $$L_R (q,Q,\dot{q},\dot{Q},P,t) ~:=~\dot{Q}^JP_J-R(q,Q,\dot{q},P,t) ,\tag{LR}$$ что приводит к уравнениям Лагранжа для малых переменных и уравнениям Гамильтона для основных переменных.

4. Мотивация состоит в том, чтобы извлечь обычные выгоды как из лагранжевой, так и из гамильтоновой сторон. Примеры:

   • Если переменные позиции капитала$Q^J$являются циклическими переменными [это означает, что$L$,$R$и$H$не зависеть от$Q^J$], то переменные импульса капитала$P_J$являются константами движения . Поэтому мы можем понизить динамические переменные$(Q^J,P_K)$внешним параметрам модели. Принцип действия для оставшихся динамических переменных (т. е. малых переменных) затем задается интегралом по времени от (минус) функции Рута.

     $$-\int \! dt~R(q,\dot{q},t).$$ Простое приложение см., например, в этой публикации Phys.SE.

   • Если лагранжиан$L$зависит аффинно от$v^j$и неаффинно на$V^J$, метод Фаддеева-Джеккова к формулировкам первого порядка дает действие Рута$S_R$.