Нахождение электронных энергетических уровней по теории представлений

Позволять

ты "=" ( с 1 с 2 с 3 с 4 ) Т
для
ψ "=" с 1 ψ 1 + с 2 ψ 2 + с 3 ψ 3 + с 4 ψ 4

Мы предполагаем, что ⟨ ψ я | ψ Дж ⟩ "=" дельта я Дж так что

⟨ ψ | ψ ⟩ "=" ⟨ ф | ф ⟩ "=" | с 1 | 2 + . . . + | с 4 | 2

Позволять U — представление группы симметрии С 4 в на этом 4-мерном пространстве состояний электронов.

я знаю для любого р е С 4 в , Т ( р ) ты также является собственным вектором с тем же собственным значением:

(1) ЧАС ( Т ( р ) ты ) "=" ϵ ( Т ( р ) ты )
Вот мой вопрос:

  • Предположим, что наш гамильтониан задан как
    ЧАС "=" ( ϵ 0 т т ′ т т ϵ 0 т т ′ т ′ т ϵ 0 т т т ′ т ϵ 0 )

Как найти собственные значения энергии ЧАС с помощью разложения U и уравнение ( 1 ) ?

Примечание. Я нашел разложение как

U "=" А 1 ⊕ Е

Ответы (1)

Ну, возможно, вы действительно не хотите слишком много думать об этом. Все зависит от матрицы Паули. о 1 что, да, является группой перестановок с двумя компонентами, с собственными значениями ± 1 для в Т "=" ( 1 , 1 ) , симметричный и ж Т "=" ( 1 , − 1 ) , антисимметричные соответственно.

Эквивалентно вашему разложению, вы можете записать гамильтониан как

ЧАС "=" ϵ 0 я 4 + т   ( о 1 + я 2 ) ⊗ о 1 + т ′   о 1 ⊗ я 2 ,
где мое соглашение вставляет правый фактор тензорного произведения 2x2 в записи левого фактора 2x2. Конечно, 3-й член, умноженный на 2-й член, дает второй член, если числовые коэффициенты t , t' игнорируются.

Тогда при осмотре видно, что ϵ 0 — общий аддитивный сдвиг ко всем собственным значениям; и что четыре собственных вектора неизбежно в ⊗ в , в ⊗ ж , ж ⊗ в , ж ⊗ ж , с явными собственными значениями 2 t + t' ; -2 т + т' ; - т' ; - т' соответственно. Так что добавь ϵ 0 чтобы все они были выполнены. Вставив правый вектор в компоненты левого, вы можете восстановить 4-вектора и проверить их, нарушая исходную алгебраическую неявность, заложенную в упражнении.

Обратите внимание на 3-й член гамильтоновых квадратов к тождеству, второй проецирует w out на левое тензорное пространство, а 3-й действует индифферентно (одинаково) на правое тензорное пространство, откуда вырождение между 3-м и 4-м собственными векторами, и одинаковая часть t собственного значения 1-го и 2-го.

Нахождение электронных энергетических уровней по теории представлений
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v