Преобразование полевого оператора при SU(2) x SU(2)

Майк демонстрирует киральную модель , самую известную σ-модель, которая является прототипом реализации глобальной симметрии и спонтанного нарушения симметрии.

(Ненормализованная) унитарная матрица M , которую он определяет через спинорное отображение, на самом деле преобразовывается как фундаментальные, а не сопряженные, обеих SU(2), L и R .

Чтобы увидеть это, обратите внимание , что левое умножение на g _L преобразует каждый столбец M как комплексный дублет; в то время как правое умножение на g _R преобразует каждую его строку как комплексный дублет. Пока два SU(2) коммутируют и не имеют ни малейшего представления друг о друге.$g_L\otimes g_R$означает, что L s и R s действуют в разных векторных пространствах и поэтому не могут умножать друг друга .

Однако их подходящие линейные комбинации, например комбинация векторов (согласно предоставленной ссылке на WP), составляют их подгруппу SU (2) «вектора» изоспина. Т.е. если мы возьмем угол поворота (параметр) как левой, так и правой групп одинаковыми (подумайте о синхронном плавании), тогда у вас будет ваше сопряженное действие этой изоспина группы, как написано,

$$M \rightarrow g^\dagger M g.$$ Бифундаментальный представитель полной группы является ipso facto присоединенным к диагональной подгруппе.

Вы можете видеть, что σ остается инвариантным, а три π трансформируются в сопряжение изоспина V .

(Никогда больше не записывайте следующее бессмысленное уравнение, которое вы написали: левые действуют слева, а правые — справа. Опять же: они не могут умножать друг друга.)

Если бы вы взяли параметры левого и правого, чтобы они были противоположны друг другу, действие, которое вы получили бы, было бы на самом деле нелинейным, но 3 осевых генератора A SO (4) ~ SU (2) × SU (2), которые это представляет, делают не замыкается в подалгебру SO(4). Каждый соединяет σ с тройкой π s. (Они представляют собой скалярный мезон и легчайшие псевдоскалярные мезоны соответственно, разумеется).

Между прочим, вы могли бы записать σ и три π вашего комплексного дублета как действительный 4-вектор, фундаментальный элемент вашей полной группы SO(4),

$$\begin{pmatrix} {\boldsymbol{ \pi}} \\ \sigma \end{pmatrix} \stackrel{SO(4)}{\longrightarrow} \begin{pmatrix} {\boldsymbol{ \pi}'} \\ \sigma' \end{pmatrix} = \left[ \mathbf{1}_4+ \sum_{i=1}^3 \theta_i^V V_i + \sum_{i=1}^3 \theta_i^A A_i \right] \begin{pmatrix} {\boldsymbol{ \pi}} \\ \sigma \end{pmatrix}$$ где $$\sum_{i=1}^3 \theta_i^V V_i =\begin{pmatrix} 0 & -\theta^V_3 & \theta^V_2 & 0 \\ \theta^V_3 & 0 & -\theta_1^V & 0 \\ -\theta^V_2 & \theta_1^V & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad \qquad \sum_{i=1}^3 \theta_i^A A_i = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & \theta^A_1 \\ 0 & 0 & 0 & \theta^A_2 \\ 0 & 0 & 0 & \theta^A_3 \\ -\theta^A_1 & -\theta_2^A & -\theta_3^A & 0 \end{pmatrix}.$$

Нет никакой замены выполнению всех 3 и 3 преобразований SO(4) и отслеживанию их влияния на каждое поле. Связанный вопрос, отображающий такой ( U ~ M здесь) 304811 или 102690/66086 .

---

Добавлено легкомысленное примечание к токсичному исходному обозначению : я исправил формулу в вопросе, чтобы отразить оригинал (2.39) текста Майка. Тем не менее, в том виде, в каком он есть, здесь и в книге, он по-прежнему вызывает захватывающую путаницу. Дело в том, что с незапамятных времен сообщество использует$\vec{~\tau}$для тройки матриц Паули ($\vec{\sigma}$) при обозначении изоспина вместо спина именно для того, чтобы избежать путаницы со скалярным полем σ, умножающим тождество. Итак, в большинстве текстов формула звучит так:$M=\sigma+ i\vec{\pi}\cdot\vec{\tau}$, самый общий групповой элемент SU(2) в дублетном представлении, с точностью до полной нормализации; σ — скалярное поле, а π — 3-векторное поле. Я уловил оскорбительную нотацию, только прочитав комментарий, слишком поздно. Это классический плохой выбор/опечатка, незаметная для знающих людей, которую трудно заметить, но которая напрягает новых читателей...