Направление движения

Это означает направление, определяемое вектором скорости.

Каково ваше определение «направления движения частицы», а не направления вектора ее скорости?

Кроме того, то, что вы говорите о снаряде, является ложью. Снаряд движется по параболической траектории. Прежде чем он достигнет своей вершины, его вектор скорости имеет вертикальную составляющую, направленную вверх, а после достижения вершины его вектор скорости имеет вертикальную составляющую, направленную вниз. Направление его скорости все время не направлено вниз. Возможно, вы думаете о его векторе ускорения , который все время указывает вниз .

Положение вашего снаряда - это вектор,$\vec{r}$, обычно задается в обозначении компонентов как$(x, y, z)$. скорость,$\vec{v}$, частицы также является вектором и определяется выражением$d\vec{r}/dt$. Направление движения – это направление, в котором указывает вектор скорости.

Возьмем ваш пример со снарядом, выпущенным прямо вверх, потому что только его высота,$z$, меняется вектор скорости, будет выглядеть так:

$$\vec{v} = (0, 0, \frac{dz}{dt} )$$

На пути вверх$dz/dt$будет положительным, потому что высота увеличивается, а на пути вниз$dz/dt$будет отрицательным, потому что высота уменьшается, поэтому сравнивая скорость на полпути вверх и на полпути вниз (и игнорируя сопротивление воздуха):

$$v_{up} = (0, 0, v_{1/2})$$

$$v_{down} = (0, 0, -v_{1/2})$$

Где$v_{1/2}$- величина скорости на полпути к вершине траектории.

Так$v_{down} = -v_{up}$- два вектора скорости указывают в противоположных направлениях, а не в одном и том же направлении.

Нет, вектор скорости всегда касается пути. Таким образом, направление движения можно рассматривать как направление вектора скорости, а также направление пути в этом месте. Путь имеет направление, потому что у него есть начало и конец.

Математически, если путь имеет вектор положения$\vec{r}(q)$где$q$любая независимая координата, такая как расстояние, угол, время, то направление движения определяется формулой

$$\vec{e}(q) = \frac{\vec{r}'(q)}{|\vec{r}'(q)|}$$

где$\vec{r}'(q) = \frac{{\rm d}\vec{r}(q)}{{\rm d} q}$. Вектор скорости определяется как

$$\vec{v}(q) = \vec{r}'(q) \;\dot{q}$$

Таким образом, направление движения зависит от направления пути$\vec{r}'(q)$и знак$\dot{q}$который указывает, двигаетесь ли вы вперед или назад по пути.

Добро пожаловать в мир дифференциальной геометрии.