Что такое режим?

В очень математическом смысле мода чаще всего относится к собственному вектору линейного уравнения. Рассмотрим задачу о связанных пружинах.

$$\frac{d}{dt^2} \left[ \begin{array}{cc} x_1 \\ x_2 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{cc} - 2 \omega_0^2 & \omega_0^2 \\ \omega_0^2 & - \omega_0^2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{cc} x_1 \\ x_2 \end{array} \right]$$ или в базисно-независимой форме $$\frac{d}{dt^2}\lvert x(t) \rangle = T \rvert x(t) \rangle \, .$$ Эта задача сложна, потому что уравнения движения для $x_1$а также $x_2$связаны. Нормальные режимы (до масштабного коэффициента) $$\left[ \begin{array}{cc} 1 \\ 1 \end{array} \right] \quad \text{and} \quad \left[ \begin{array}{cc} 1 \\ -1 \end{array} \right] \, .$$ Эти векторы являются собственными векторами $T$. Будучи собственными векторами, если мы расширим $\lvert x(t) \rangle$а также $T$в терминах этих векторов уравнения движения расцепляются. Другими словами

Набор нормальных мод является векторным базисом, который диагонализует уравнения движения (т.е. диагонализует$T$).

Это определение заведет вас довольно далеко.

Такая же ситуация и в квантовой механике. Нормальные режимы системы исходят из уравнения Шредингера

$$i \hbar \frac{d}{dt}\lvert \Psi(t) \rangle = \hat{H} \lvert \Psi \rangle \, .$$ Собственный вектор $\hat{H}$является нормальным режимом системы, также называемым стационарным состоянием или собственным состоянием. Эти нормальные моды обладают еще одним важным свойством: при эволюции во времени они сохраняют свою форму, подхватывая только сложные префакторы. $\exp[-i E t / \hbar]$куда $E$является собственным значением режима при $\hat{H}$оператор (т.е. энергия моды). Так было и в классической системе. Если система связанных пружин инициируется в собственном состоянии $T$(т.е. в обычном режиме), то он остается в масштабированной версии этого нормального режима навсегда. В случае пружин масштабный коэффициент равен $\cos(\sqrt{\lambda} t)$куда $\lambda$является собственным значением режима при $T$оператор.

Из приведенного выше обсуждения мы можем сформировать очень физическое определение «моды»:

Мода — это траектория физической системы, которая не меняет форму по мере развития системы. Другими словами, когда система движется в одном режиме, положения всех ее частей движутся с одинаковой общей зависимостью от времени (например, синусоидальное движение с одной частотой), но могут иметь разные относительные амплитуды.

Определение «моды» в Free Dictionary в контексте физики - это «любая из многочисленных моделей волнового движения или вибрации». Однако это определение кажется слишком широким и неточным. Режим можно разделить на нормальный режим и квазинормальный режим. Нормальная мода — это не зависящее от времени колебание, при котором частота и форма волны неизменны во времени. Квазинормальная мода — это возмущение поля, частота и форма которого меняются со временем.

В главе 49 Фейнмановских лекций по физике моды обсуждаются как различные результаты, полученные при ограничении волн различными способами в некоторой конечной области.

В общем, распространяющиеся волны классифицируются в соответствии со способами распространения. Звуковые волны, например, могут приводить к различным типам циклического движения частиц при прохождении волны через среду . Мода может определяться свойствами среды, а также частотой волны.

Всякий раз, когда вы имеете дело с колебанием, или вибрацией, или другим регулярным повторением движения, вы можете классифицировать его как демонстрацию того или иного режима движения. Когда у вас есть «коллективное движение многих отдельных частиц» , демонстрирующее волнообразное движение, классификация по модам может быть подходящим способом исследования и классификации таких явлений.

Попробую более интуитивно. Одним из наиболее фундаментальных аспектов (и не только) физической картины мира является разложение сложности на более простые части. А еще лучше, когда кусочки пазла составляют единое целое без пропусков и наложений.

Такой штукой (и не только) для колебаний являются ортогональные моды. Что означают слова? «Режим» — это «возможный способ что-то делать», а «ортогональный» на самом деле означает, что кусочки головоломки не перекрываются. «Сотрудничеством» (например, линейная комбинация, коэффициенты Фурье...) этих «независимых способов делать вещи» описывается сложное движение. Дело в том, что мы раскладываем уродливое колебательное движение на несколько «более приятных и понятных частей».

Самый известный пример — связанные колебания. Если вы посмотрите на систему, измерив положение масс, измеренных от твердой стены, вы увидите беспорядок. Но! Если вы видите это как комбинацию центра тяжести и относительного движения масс, тогда возникает простота.