Нарушает ли квантовая механика принцип эквивалентности?

Слабый принцип эквивалентности, или сокращенно WEP, утверждает, что при одинаковых начальных условиях движение частиц разных масс в заданном гравитационном поле идентично. Или, другими словами, не существует физических эффектов, зависящих от массы точечной частицы во внешнем гравитационном поле. Это и есть эквивалентность между инертной и гравитационной массой.

Ниже я представлю некоторые результаты, которые находятся по обе стороны лагеря (нарушается или не нарушается WEP). Из того, что я читал, консенсус по этому вопросу заключается в том, что принцип эквивалентности в общем смысле нарушается. Однако есть особые случаи, когда этот принцип справедлив для квантовой механики (один такой случай приведен ниже).

Возьмем уравнение Шрёдингера для частицы с инертной массой$m_i$и гравитационная масса$m_g$, то есть падает к массе$M$.

Очевидно, что даже для$m_{i}=m_{g}$масса не сокращается из уравнений движения. Этот факт еще более очевиден для$m_{i}=m_{g}=m$в однородном гравитационном поле в$x$направление, ускорение$g$

решение которого будет параметрически зависеть от$\hbar/m$. В этот момент мы могли бы сказать, что волновые функции, пропагаторы и распределения плотности вероятности нарушают WEP. Кроме того, Рабинович в 90-х исследовал возможность гравитационно-связанных атомов и обнаружил, что масса,$m$, остается в квантованных уравнениях движения (хотя в классических уравнениях движения масса сокращается). мы ожидаем$m$сокращаться при усреднении по состояниям с большими квантовыми числами, но это эффективно помещает их в классический континуум.

Однако П. С. Дэвис предлагает в этой статье следующий эксперимент:

Рассмотрим вариант простого эксперимента Галилея, в котором частицы разной массы выбрасываются вертикально в однородном гравитационном поле с заданной начальной скоростью$v$. Классически предсказывается, что частицы вернутся через время$2v/g$позже, поднявшись на высоту$x_{max}=v^{2}/ 2g$. Но квантовые частицы способны туннелировать в классически запрещенную область выше xmax. Кроме того, глубина туннелирования зависит от массы. Следовательно, можно было бы ожидать небольшой, но весьма значительной «квантовой задержки» во времени возврата, зависящей от массы. Такая задержка представляла бы собой нарушение принципа эквивалентности.

В конце раздела$3$он доказывает, что математическое ожидание времени обращения квантовой частицы идентично, когда измерение проводится вдали от классической точки поворота. В этом смысле WEP выполняется для квантовой частицы.

Этот результат предполагает, что однородный гравитационный потенциал, который локально применим к любому несингулярному гравитационному полю, обладает особым свойством по отношению к квантовой механике, а именно тем, что время ожидания распространения квантовой частицы на этом фоне идентично классическому время распространения. Это можно рассматривать как распространение принципа эквивалентности на квантовый режим (для более широкого обсуждения того, что влечет за собой «квантовый принцип эквивалентности»). Это особое свойство, по-видимому, зависит от формы потенциала; он не применяется в случае резкого скачка потенциала или экспоненциального потенциала.

Наконец, я хотел бы указать на эту статью , где авторы вычисляют низкие поправки к сечению для рассеяния различных квантовых частиц внешним гравитационным полем (взятым как внешнее поле в линеаризованной гравитации). Они показывают, что в первом порядке сечения зависят от спина. Во втором порядке они также зависят от энергии. Таким образом, они доказывают, что принцип эквивалентности нарушается в обоих случаях.

Я возьму принцип слабой эквивалентности в формулировке, приведенной на странице Википедии :

Локальные эффекты движения в искривленном пространстве (гравитация) без исключения неотличимы от эффектов ускоренного наблюдателя в плоском пространстве.

Рассмотрим волновую функцию$\Psi(r,t)$и предположим, что потенциальная энергия постоянна. Теперь давайте переключимся$^\dagger$в систему отсчета, которая движется относительно исходной со скоростью$At$с$A$постоянный:

$\Psi'(r,t)$волновая функция в ускоренном (с ускорением$A$) Рамка.

Если мы примем уравнение Шредингера для свободной частицы

мы можем получить эффективную потенциальную энергию для$\Psi'(r,t)$волновая функция:

Но это не что иное, как потенциальная энергия в однородном гравитационном поле:

где мы используем$g=-A$ускорение свободного падения и$h=r$высота.

Что мы получаем от этого? Действительно, оказывается, что движение в равномерно ускоренной системе отсчета неотличимо от движения в гравитационном потенциале, т.е. выполняется слабый принцип эквивалентности , если взять формулировку, которую я привел выше.

О чем же тогда говорят такие газеты, как, например, эта ? Говорят о "сильном квантовом нарушении слабого принципа эквивалентности"! Ответ, как мне кажется, состоит в том, что они путают слабый принцип эквивалентности с массозависимыми эффектами. Видите ли, большая часть дискуссий идет о зависимости некоторых свойств волнового пакета от массы частицы. Но это не имеет ничего общего со слабым принципом эквивалентности: мы имеем зависящее от массы расширение волнового пакета даже безо всякой гравитации — даже в свободном пространстве!

Может быть, есть какая-то неэквивалентная формулировка слабого принципа эквивалентности, которая говорит о массозависимых эффектах в тех случаях, когда их нет в классической механике, но тогда он вообще не должен быть связан с гравитацией и общей теорией относительности.

_{$^\dagger$Переключатель аналогичен описанному, например, в Ландау, Лифшице «Квантовая механика. Нерелятивистская теория» — в задаче после$\S$17, но с учетом зависимости скорости от времени (т.е. не забывая интегрировать$\frac12mV^2$относительно времени, а не просто умножать на$t$).}

Проблема возникает только при рассмотрении собственных состояний энергии, которые полностью делокализованы. Один из постулатов принципа эквивалентности состоит в том, что эквивалентность между гравитационными системами и ускоренными системами отсчета верна только локально . Все, что утверждает принцип эквивалентности, — это то, что в любой достаточно малой точке существует окрестность, в которой физические системы эквивалентны. Но собственное энергетическое состояние будет зависеть от физики за пределами любой такой окрестности. Из-за этого собственные состояния, являющиеся сильно делокализованными состояниями, не должны каким-либо образом удовлетворять принципу эквивалентности.

Более подробное объяснение было бы следующим: преобразование индуцирует гамильтониан в ускоренной системе отсчета. Принцип эквивалентности гласит, что если местность достаточно мала, вы не можете провести измерение внутри местности, которое скажет мне, нахожусь ли я в гравитационном потенциале или в ускоренной системе отсчета. Но по определению вы не можете провести идеальные измерения импульса или энергии внутри такой местности, потому что ваша местность имеет протяженность в пространстве, поэтому положение не может быть вне этой протяженности. Следовательно, никакое возможное измерение внутри местности не может отличить протяженные собственные состояния энергии или импульса. Если пакеты уже, чем ширина местности, должен выполняться принцип эквивалентности. Если пакеты шире, чем локальность, принцип эквивалентности НЕ ДОЛЖЕН выполняться.

Если квантовая механика нарушает принцип эквивалентности, то это будет означать, что теория Эйнштейна неверна. Но мы знаем из экспериментов (Gravity Probe B... и т. д.), что теория Эйнштейна не ошибочна. Таким образом, квантовая механика не нарушает теорию Эйнштейна, а значит, и принцип эквивалентности.