Уравнение Шредингера и специальная теория относительности

Насколько я понимаю, уравнение Шредингера описывает, как волновая функция квантовой системы изменяется в пространстве в течение заданного времени (я имею в виду релятивистскую версию уравнения Шредингера). Насколько я понимаю, уравнение по существу описывает эволюцию вероятности квантового измерения как классической системы. Значит ли это, что вероятности, определяемые уравнением Шредингера, зависят от системы отсчета наблюдателя (т. е. влияют ли замедление времени и сокращение длины на вероятности, определяемые уравнением)?

РЕДАКТИРОВАТЬ: Что мне в конечном итоге интересно, так это то, зависят ли вероятности, рассчитанные на основе волновой функции, эволюция которой описывается уравнением Шредингера, от системы отсчета наблюдателя (т.е. если две идентичные системы измеряются (1) кем-то в покое относительно система и (2) кто-то в движении относительно системы, различны ли вероятности измерения?Имеет ли вообще смысл говорить, что измерение производится кем-то в движении относительно системы?)

Уравнение Шредингера описывает эволюцию волновой функции. Он не описывает эволюцию вероятностей. Они вступают в игру только при использовании правила Борна, которое является независимым предположением о результатах классических измерений квантовой системы. Поскольку уравнение Шредингера нерелятивистское, оно не даст правильных результатов для релятивистских квантовых систем. Для этого вам нужна квантовая теория поля.
Короче говоря, уравнение Шредингера построено на основе классической гамильтоновой механики , что означает, что оно неверно в релятивистском пределе. Вы должны прочитать эту статью в Википедии . Я думаю, что это отвечает на ваш вопрос.
Пояснение к вопросу (v1): Вы имеете в виду уравнение Шредингера для эволюции во времени для «независимого от времени уравнения Шредингера», которое, к сожалению, названо так, потому что на самом деле это просто уравнение, которому подчиняются собственные векторы энергии? Первый является полностью общим и релятивистским.
@CuriousOne Уравнение Шредингера для эволюции времени, а именно я ℏ д | ψ ⟩ / д т "=" ЧАС | ψ ⟩ не является нерелятивистским. Фактически, это основа эволюции во времени в любой квантовой теории чего бы то ни было, включая КТП. Извините, что утомляю, но я чувствую, что это одно из тех заблуждений, которое нужно раздавить довольно настойчиво.
@joshphysics: В контексте вопроса ОП ссылка, по-видимому, относится к нерелятивистскому уравнению Шредингера для одной частицы, которое отличается от обобщенного линейного эволюционного уравнения КТП (в контексте которого интерпретация волновой функции принципиально отличается, не говоря уже о существенных проблемах даже с математически осмысленным определением задач qft в этих обозначениях).
@CuriousOne Это может быть так, и если это так, то я согласен с вами, но я не уверен, что это тот контекст, который имеет в виду ОП. Может быть, ОП удостоит нас разъяснениями.
@joshphysics: Это справедливо. Давайте спросим у ОП, что он имел в виду. Если у него был более общий вопрос, чем я понял, то я с удовольствием отзываю свой комментарий.

Ответы (3)

Насколько я понимаю, уравнение Шредингера описывает, как волновая функция квантовой системы изменяется в пространстве в течение заданного времени (я имею в виду релятивистскую версию уравнения Шредингера).

Во-первых, не существует релятивистского уравнения Шрёдингера. Правильным релятивистским обобщением является уравнение Дирака, но даже оно является своего рода приближением к истинной теории, и нужно работать со всем аппаратом КТП = КМ + СР.

Насколько я понимаю, уравнение по существу описывает эволюцию вероятности квантового измерения как классической системы.

Уравнение непосредственно описывает эволюцию амплитуды вероятности, а не вероятность как таковую; получается эволюция вероятностей. Амплитуда в некотором смысле представляет собой «квадратный корень» вероятности и является одним из основных понятий, отличающих квантовую механику от классической механики.

В конечном итоге мне интересно, зависят ли вероятности, вычисленные на основе волновой функции, эволюция которой описывается уравнением Шредингера, от системы отсчета наблюдателя.

Да, это так. Основная проблема канонического квантования состоит в том, что мы не можем сделать ковариантный выбор операторов рождения и уничтожения.

Уравнение Шрёдингера представляет собой нерелятивистское приближение к уравнению Клейна-Гордона. Свойства (импульс, энергия, ...), описываемые решениями уравнения Шредингера, должны надлежащим образом зависеть от системы отсчета Галилея. На самом деле это не так. Свойства (импульс, энергия, ...), описываемые решениями уравнения Клейна-Гордона, действительно ведут себя правильно при преобразованиях Лоренца, как и решения уравнения Дирака, которое можно рассматривать как релятивистское расширение уравнения Паули.

Далее я буду обсуждать независимое от времени уравнение Шредингера , которое мы все изучали на первом курсе квантовой механики , по крайней мере, во время моего обучения.

Шрёдингер

Независимое от времени уравнение Шрёдингера не является релятивистским, и да, оно будет давать разные решения в разных рамках. Поскольку волновые функции будут разными, их квадрат, который даст вероятности нахождения состояния при заданных (x, y, z) за время t, будет другим.

Соответствующими уравнениями для релятивистских ситуаций являются уравнения Клейна-Гордона для бозонов и уравнения Дирака для фермионов.

В физике элементарных частиц уравнение Дирака представляет собой релятивистское волновое уравнение, полученное британским физиком Полом Дираком в 1928 году. В свободной форме или с учетом электромагнитных взаимодействий оно описывает все массивные частицы со спином ½, для которых четность является симметрией, например электроны. и кварки, и согласуется как с принципами квантовой механики, так и со специальной теорией относительности, и была первой теорией, полностью объясняющей специальную теорию относительности в контексте квантовой механики.

Поскольку материя, которую мы наблюдаем, в основном состоит из фермионов, уравнения Дирака являются наиболее подходящими.

Любое решение уравнения Дирака автоматически является решением уравнения Клейна-Гордона, но обратное неверно.

С формализмом квантовой теории поля строительные блоки, решения уравнения Дирака, мало обсуждаются.

Мне было указано, что существуют уравнения, зависящие от времени, которые обсуждаются в этом вопросе здесь, и могут представлять интерес для людей, желающих заняться этим, после прочтения обсуждения в комментариях.

-1 (по крайней мере, на данный момент об ответе (v1)): мне неясно, какое уравнение Шредингера имеет в виду ОП. Если ОП относится к уравнению Шредингера для временной эволюции, то в нем нет ничего нерелятивистского; на самом деле она совершенно фундаментальна и вообще применима ко всем квантовым системам. Я думаю, очень важно прояснить это.
@joshphysics Я предполагаю уравнение разнообразия сада.
Боюсь, это не сужает круг. Есть два простых уравнения, которые носят это имя: я ℏ д | ψ ⟩ / д т "=" ЧАС | ψ ⟩ и − ( ℏ 2 / 2 м ) ∇ 2 ψ + В ψ "=" Е ψ . Первый релятивистский, а второй нет.
@joshphysics, чем ближе я подобрался, выискивая, что первое является релятивистским, было «трудно показать, что это так». У вас есть ссылка . У меня всегда было впечатление, что для этого нужен Кляйн Гордон, даже без вращений. ?
Любой книги по релятивистской КТП будет достаточно, поскольку отправной точкой эволюции во времени является использование некоторой «картинки» (например, Шредингера, Гейзенберга, взаимодействия), каждая из которых эквивалентна эволюции Шредингера. Но для скептиков, см. лекцию Дэвида Тонга по QFT, уравнение 2.3 damtp.cam.ac.uk/user/tong/qft/two.pdf и окружающую цитату: «Все зависимости от времени находятся в состояниях, которые развиваются по обычному уравнению Шредингера. Мы не делаем ничего отличного от обычной квантовой механики, мы просто применяем старый формализм к полям».
@joshphysics: При всем уважении к Дэвиду Тонгу… мотивированный и умный студент может изучить основы нерелятивистского КМ за неделю, но даже этому студенту потребуется пара лет, чтобы хотя бы наполовину освоить КТП. Если бы мы занимались «точно тем же самым», то жизнь была бы чертовски проще, чем она есть на самом деле. И если янгианские симметрии играют такую ​​большую роль в КТП, как считают некоторые люди, то, возможно, последние 60 с лишним лет мы смотрели на это совершенно неправильно.
@CuriousOne Я думаю, что это может быть немного несправедливо по отношению к Тонгу в том смысле, что, вырванное из контекста, можно интерпретировать цитату так, как вам кажется. Тонг имеет в виду именно временную эволюцию, и, если вы спросите меня, весьма концептуально важно подчеркнуть, что в КТП нет ничего нового, когда дело доходит до временной эволюции. Я говорю это отчасти потому, что в более общем плане важно понимать, что КТП является моделью в рамках квантовой механики, и то, что квантовая эволюция во времени принимается точно таким же образом, является важным компонентом для подчеркивания этого факта.
@joshphysics Я не оспариваю QFT. Мне нужна простая демонстрация того, что уравнение S является релятивистским; Я думаю, что Кляйн Гордон - это релятивистская версия С. По крайней мере, статья в википедии тоже должна быть неправильной.
@joshphysics: Я понимаю, что имеет в виду Дэвид Тонг, но на практике часть «...все, что мы делаем...» заняла у некоторых из самых ярких людей более полувека, и путаница сейчас, вероятно, еще больше чем первое поколение теоретиков поля могло даже вообразить. Я согласен с тем, что можно взглянуть на квантовую механику несколько шире, чем КТП, что, однако, не снижает сложности ее фактического применения и не сводит релятивистские теории поля к простому дифференциальному уравнению первого порядка, как это предполагает это формальное уравнение.
@annav Уравнение я ℏ д | ψ ⟩ / д т "=" ЧАС | ψ ⟩ является релятивистским в том смысле, что он определяет эволюцию во времени каждой квантовой системы , включая любые релятивистские системы, подобные тем, которые описываются стандартной моделью физики элементарных частиц. Я довольно смущен тем, что именно вы хотите. Какую "демонстрацию" вы хотите? Я согласен, что уравнения − ( ℏ 2 / 2 м ) ∇ 2 ψ + В ψ "=" Е ψ и − ( ℏ 2 / 2 м ) ∇ 2 ψ + В ψ "=" я ℏ ∂ ψ / ∂ т описывать нерелятивистские системы. (не относительная массивная частица), если вы об этом.
@joshphysics да, масса нерелятивистская, и трудно понять, что произойдет при релятивистских энергиях. Так что я думаю, что мое «нет» в приведенном выше ответе сосредоточено на этом, а также на утверждении в вики-статье. в КГ вы знаете, что имеете дело с массой покоя.
@joshphysics Я предполагаю, что это производная первого порядка по времени, которая не позволяет увидеть релятивистскую форму, в то время как KG имеет ее явно.
У меня сложилось впечатление, что вы путаете релятивистское уравнение с явно ковариантным . Уравнение Шрёдингера в общем виде
(1) я ℏ д д т | ψ ⟩ "=" ЧАС ^ | ψ ⟩
является полностью релятивистским, если мы даем релятивистский гамильтониан ЧАС ^ , но не является явно ковариантным (или инвариантным по форме). Тем не менее, он по-прежнему действителен в любой системе отсчета. Например, уравнение Дирака (интерпретируемое как уравнение одной частицы) может быть очень легко выражено как (1) выше, с ЧАС ^ "=" α я п ^ я с + м с 2 я .
@Cham Запрос ОП о вероятности в космосе явно спрашивает о ковариации, поэтому этот ответ касается его беспокойства. На самом деле, ковариантное обобщение уравнения Шре является загадочным, нелокальным уравнением Солпитера с ковариантным дисперсионным соотношением за счет псевдодифференциального оператора. Но атомные часы, управляемые уравнением Шрена, явно тикают с частотой, зависящей от кадра! Вопрос не в абстрактном рассуждении о гильбертовом пространстве, а в вопросе о том, «как повысить ответы»?
Просто для ясности (я далек от эксперта), означает ли здесь «релятивистский» инвариант Пуанкаре?
@N._Steinle: непонятно! У меня странное ощущение, что они спорят о малопонятных теоремах Хегерфельдта и Рейсеннаара, не разъясняя их. Плотность пространства не является инвариантной по Пуанкаре, но если вы посмотрите на простейшие явные ответы — или на ядро ​​пуанкаре-инвариантного оператора Солпитера, они, кажется, отображают релятивистскую кинематику — с подходящим поворотом.
@N._Steinle небольшое пояснение: оператор Солпитера не является явно лоренц-ковариантным (которым является его родитель, KG), но обладает структурой светового конуса, «способствующей» ковариантности ... Его пространство решений инвариантно относительно преобразований Лоренца, Фолди , 1956 г. .
Уравнение Шредингера и специальная теория относительности
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v