Насколько медленным является обратимое адиабатическое расширение идеального газа?

По-настоящему обратимый термодинамический процесс должен всегда бесконечно мало смещаться от равновесия, и поэтому для его завершения требуется бесконечное время. Однако, если я буду выполнять процесс медленно, я смогу приблизиться к обратимости. Мой вопрос: «Что определяет, когда что-то работает медленно?»

Для определенности возьмем изолирующий цилиндрический поршень с площадью поперечного сечения А и исходная длина л 0 . Внутри находится идеальный газ с н молекулы газа с массой на молекулу м . Температура Т 0 , а показатель адиабаты равен γ .

Я планирую адиабатически расширить поршень до длины л 1 , не торопясь т сделать это. если я возьму т достаточно долго, процесс будет почти обратимым. Однако, т быть длинным не означает «одну минуту» или «один год». Это означает т >> т для некоторых

т знак равно ф ( А , л 0 , л , н , м , Т , к Б , γ )

Что такое т ?

Из чисто размерных соображений я предполагаю, что отношения примерно такие

т знак равно м л л 0 к б Т ф ( н , л / л 0 , А / л 2 , γ )
,

но у меня нет сильного физического объяснения.

Редактировать Осмысленный ответ должен позволить мне сделать следующее: я беру определенный пример поршня и пытаюсь несколько раз расширить его, поместив в коробку, чтобы я мог измерить тепло, выделяемое в окружающую среду. Я вычисляю изменение энтропии во Вселенной для расширений. После нескольких расширений, каждое из которых медленнее предыдущего, я наконец-то получаю Δ С для Вселенной до числа, которое я считаю достаточно малым. Далее я планирую повторить эксперимент, но с новым поршнем, который имеет другие размеры, другую начальную температуру и т. д. Исходя из моих результатов для предыдущего поршня, как я могу выяснить, сколько времени мне потребуется, чтобы расширить новый до достичь аналогичной степени обратимости с первой попытки?

Для справки, давление

п знак равно н к Б Т В

а скорость звука

в знак равно γ к б Т м
,

и я рад получить ответ в терминах этих или других производных величин. Формулы для энтропии и термодинамических потенциалов можно найти в статье в Википедии .

""но с новым поршнем, который имеет другие размеры, другую начальную температуру и т.д."" Различные размеры - это метод изучения некоторых механизмов диссипации. Но что Вы видите при разных температурах? Адиабатический цилиндр/поршень не обменивается теплом с газом внутри. Таким образом, его температура не имеет значения (в любом случае он сделан из чудо-материала, поэтому вы можете предположить, что он имеет нулевую удельную теплоемкость)
@Georg Начальная температура влияет на скорость звука.
Не является т просто т знак равно л 0 в
@Мартин, я бы догадался, что л входит в него. Нам нужно уравновесить весь цилиндр, и если цилиндр очень длинный, это займет больше времени, потому что низ должен иметь возможность разговаривать с верхом.

Ответы (4)

Я студент, поэтому, пожалуйста, укажите в кровавых подробностях все, что я сделал неправильно.

Для того чтобы процесс был квазистатическим, масштабы времени эволюции системы должны быть больше, чем время релаксации. Время релаксации – это время, необходимое системе для возвращения к равновесию.

У нас адиабатический процесс, поэтому в каждой точке должно сохраняться равновесие, т. е.

(Работая в рамках справедливости кинетической теории идеальных газов и игнорируя трение)

( А л ( т ) ) γ п ( т ) знак равно ( А л 0 ) γ п ( т 0 )

Импульс, полученный поршнем:

Δ п знак равно 2 м в Икс

Молекула будет воздействовать на поршень каждые

дельта т знак равно 2 ( л 0 + дельта Икс ) в Икс

Сила, действующая на поршень, равна Ф знак равно Δ п дельта т знак равно м в Икс 2 л 0 + дельта Икс Давление будет п знак равно п А и для Н такие молекулы

п знак равно Н м < в Икс > 2 А ( л 0 + дельта Икс ) знак равно Н м < в > 2 3 А ( л 0 + дельта Икс )

Итак, в данный момент т знак равно т ′ где поршень сместился на дельта Икс , у нас есть

( А л ( т ) ) γ п ( т ) знак равно Н м < в > 2 3 А 1 − γ ( л 0 + дельта Икс ) γ − 1

Расширение в серии

знак равно Н м < в > 2 л 0 γ − 1 3 А 1 − γ ( 1 + ( γ − 1 ) дельта Икс л 0 + О ( дельта Икс 2 ) )

Замена дельта Икс л 0 знак равно дельта т в Икс 2 л 0 − 1

( А л 0 ) γ п ( т 0 ) знак равно ( А л 0 ) γ п ( т 0 ) ( 1 + ( γ − 1 ) ( дельта т в Икс 2 л 0 − 1 ) )

Если мы хотим, чтобы наш процесс был обратимо адиабитным хотя бы до первого порядка, мы должны иметь сверху

дельта т знак равно 2 л 0 < в Икс >

Теперь пришло время до столкновения для начального случая. Расследование вторых заказов

( А л 0 ) γ п ( т 0 ) знак равно ( А л 0 ) γ п ( т 0 ) ( 1 + ( γ − 1 ) дельта Икс л 0 + 1 2 ( γ − 1 ) ( γ − 2 ) ( дельта Икс л 0 ) 2 + О ( дельта Икс 3 ) )

Глядя только на условия серии

1 + ( γ − 1 ) дельта Икс л 0 ( 1 + 1 2 ( γ − 2 ) дельта Икс л 0 ) ≈ 1

Это было бы верно для

дельта т знак равно 4 л 0 < в Икс > ( 1 2 − γ − 1 )

Теперь это «время до следующего столкновения» для молекулы газа, ударяющей по поршню. Для сохранения обратимости хотя бы до второго порядка поршень должен быть перемещен из л 0 к л 0 + дельта Икс во время т знак равно дельта т так что системные переменные следуют адиабатической кривой.

The < в Икс > можно рассчитать из распределения Максвелла

@Approximist Спасибо за работу над этим ответом. Я еще не читал его подробно, потому что, когда я сначала пытался получить общее представление о том, что вы делаете, я заметил, что ваше окончательное выражение для дельта т не зависит от дельта Икс . Есть ли какая-то особая причина, по которой расстояние, на которое перемещается поршень, не входит в окончательный ответ?
@Отметка дельта Икс не появляется в конечном выражении для дельта т из-за в Икс срок. В качестве дельта т знак равно 2 ( л 0 + дельта Икс ) в Икс я выразил дельта Икс л 0 срок с точки зрения дельта т а также в Икс . Прод..
Проблема с решением заключается в том, что я довольно наивно заменил < в Икс > за в Икс думая, что для набора из N таких молекул независимые значения будут заменены средними значениями. Однако из распределения Максвелла < в Икс >= 0 поэтому последнее выражение говорит нам, что дельта т должно быть бесконечным, что мы уже знаем.
Единственный способ, которым я могу обойти эту трудность, состоит в том, что стандартное отклонение скорости равно о в Икс знак равно к Б Т м . Итак, оставаясь в пределах одного стандартного отклонения скорости, мы имеем нижнюю границу 4 л 0 м к Б Т γ − 1 2 − γ < дельта т < ∞ .
Таким образом, ответ, согласно всему этому, заключается в том, что если вы хотите достаточно долго ждать, пока все флуктуации скорости «сгладятся», то для обратимого расширения ваши дискретные шаги должны быть бесконечно разнесены во времени. В противном случае, в зависимости от точности, с которой вы можете убедиться, что п В γ знак равно с о н с т то наименьший интервал времени, в течение которого ваш процесс будет обратимым, будет т знак равно 4 л 0 м к Б т γ − 1 2 − γ
@Approximist Комментарии выше кажутся мне критически важными для окончательного ответа. Я бы посоветовал вам включить их в свой фактический ответ? Отличная работа, кстати.
Мне потребовалось довольно много времени, прежде чем я физически понял, о чем говорит ваш вывод, но молодец. Я нашел это проницательным.
Я не согласен с вашим расчетом по следующей причине: когда вы манипулируете гамма, Т, Р и т. д., вы неявно предполагаете, что они существуют, поэтому вы предполагаете, что газ находится в локальном термодинамическом равновесии (ЛТР), и поэтому вы не можете ничего доказать или опровергнуть относительно условие быть в LTE.

Это не прямой ответ на вопрос, а несколько иной взгляд на это адиабатическое расширение. Я не уверен, насколько это правильно.

Итак, предположим, что поршень движется (в направлении Икс -ось) бесконечно медленно со скоростью в → п . Пусть молекула летит к поршню со скоростью в → к . По отношению к поршню его скорость будет в → к р е л знак равно в к → − в п → . Нормальная составляющая (относительный поршень) относительной скорости равна ( в к р е л ) Икс знак равно в к Икс − в п . Обозначим через в ′ → к р е л скорость молекулы относительно поршня после отражения. Тангенциальная составляющая относительной скорости в результате отражения не меняется, а нормаль меняет знак.

( в к р е л ′ ) Икс знак равно − ( в к р е л ) Икс знак равно − в к Икс + в п
Обозначим через в к ′ скорость молекулы относительно неподвижных стенок цилиндра после отражения. Его нормальная составляющая в к Икс ′ знак равно ( в к р е л ′ ) Икс + в п знак равно − в к Икс + 2 в п а тангенциальная составляющая такая же, как и у скорости в → к . В результате отражения от поршня увеличивается кинетическая энергия молекулы:

1 2 м ( − в к Икс + 2 в п ) 2 − 1 2 м в к Икс 2 знак равно − 2 м в п в к Икс + 2 м в п 2
Обозначим через н к число молекул в единице объема, скорости которых примерно равны в → к . Количество попаданий этих молекул на поршень за время д т равно г к знак равно А н к ( в к Икс − в п ) д т где А - площадь поршня. В результате кинетическая энергия молекул этой группы за время dt увеличится:

( − 2 м в п в к Икс + 2 м в п 2 ) А н к ( в к Икс − в п ) г т знак равно − 2 м н к ( в к Икс 2 − в п 2 ) г В
куда д В знак равно А в п д т это увеличение объема газа за то же время.

Приращение кинетической энергии всего газа:

г Е к я н знак равно г U знак равно − г В ∑ в к Икс > 0 2 м н к в к Икс 2 + 2 г В в п 2 ∑ в к Икс > 0 м н к
Здесь U внутренняя энергия идеального газа. Суммирование только для тех групп молекул, которые движутся в направлении поршня. При суммировании всех групп молекул, движущихся как поршень, так и от него, то сумму следует делить пополам. В таком случае:
г U знак равно − г В ∑ м н к в к Икс 2 + г В в п 2 ∑ м н к
Но по определению первая сумма есть давление газа п а вторая сумма - это просто плотность газа р . Таким образом, мы получаем дифференциальное уравнение:

г U + п г В знак равно р в п 2 г В
Внутренняя энергия идеального газа может быть выражена следующим образом:
U знак равно ф 2 п В
куда ф – число степеней свободы молекулы. Используя тот факт, что показатель адиабаты γ знак равно ф + 2 ф , дифференциальное уравнение можно переписать:

д п д В + γ п В знак равно ( γ − 1 ) р В в п 2
Если в п знак равно 0 то получаем из него уравнение адиабаты: п В γ знак равно с о н с т

Потому что р зависит от давления и температуры, прямое интегрирование дифференциального уравнения невозможно. Но при небольших смещениях поршня можно считать, что плотность примерно постоянна, я думаю.

Мне нравится ваш ответ, хотя это обобщение закона адиабаты, а не условие для того, чтобы система находилась в LTE.

Хорошим ответом на ваш вопрос действительно было условие скорости поршня намного ниже средней скорости молекулы. Чтобы понять почему, нужно изучить кинетику и теории жидкости. Из уравнения Больцмана можно вывести уравнения жидкости, которые приводят к классической термодинамике. Переход от шкалы кинетики к шкале жидкости действителен только в том случае, если макроскопическая шкала времени и макроскопические длины градиента намного больше, чем микроскопическое время релаксации и длина свободного пробега частицы.

Вы имеете в виду, что вне кинетического масштаба нет производства энтропии?
Я не вижу, где я предположил, что это так. Энтропия была впервые определена в кинетической шкале. Пока вы знаете, как вычислить f(r,v,t), вы можете вычислить S. Но вне равновесия у вас могут возникнуть трудности с соединением S с T или любым другим макроскопическим параметром. С правками все изменилось, исходной формулы в вопросе больше нет.

Самое смешное, что ответ на ваш конкретный вопрос даже не «одна минута» или «один год». Расширение/сжатие газов эффективно обратимо для режимов, где справедливо гидродинамическое описание, то есть движение газа описывается уравнениями Навье-Стокса.

Самый простой способ убедиться в этом — вспомнить, как выводится упомянутая вами формула скорости звука:

в знак равно γ к б Т м

Вы предполагаете, что воздух сжимается/расширяется адиабатически и предполагает отсутствие диссипации, то есть работа, совершаемая давлением, полностью уходит на внутреннюю энергию, и наоборот. И вы приходите к уравнению акустической волны. Таким образом, расширение/сжатие газа обратимо в той мере, в какой распространение звука описывается обычным волновым уравнением.

Основная причина этого явления заключается в том, что для газов вторая вязкость равна нулю в предположениях кинетической теории. Фактическое значение больше нуля, но на практике им пренебрегают. В гидродинамике вторая вязкость ζ измеряет производство энтропии из-за расширения/сжатия:

о ζ знак равно ζ Т ( див ⁡ в ) 2

Здесь в скорость жидкости. Так что не расширение вызывает необратимость газа в поршне. Есть два других источника энтропии в потоке жидкости. Первый – теплопроводность:

о λ знак равно λ Т 2 ( град Т ) 2

Если у вас нет температурных градиентов, это ноль.

Другой возникает из-за сдвиговой вязкости:

о мю знак равно 2 мю Т [ ∂ в я ∂ Икс Дж + ∂ в Дж ∂ Икс я − 1 3 ∂ в к ∂ Икс к ] 2

Выражение выше записано в декартовых координатах, повторяющиеся индексы означают суммирование, а я Дж 2 знак равно а я Дж а я Дж .

Я думаю, что можно построить поршень, в котором не возникнет касательных напряжений у стенки, поэтому производство энтропии будет равно нулю.

Чтобы ответить на ваш вопрос, мы можем предположить, что расширение газа в поршне обратимо, если производимая энтропия мала по сравнению с общей энтропией.

Δ С знак равно ∫ 0 т ∫ В о ( р , т ′ ) г р г т ′ ≪ С

это условие для т .

Опять же, приведенное выше объяснение верно всякий раз, когда справедливо гидродинамическое описание, если у вас есть ударные волны, описание континуума не применимо для части области.

Предположим ζ быть ненулевым. Чем произведенная энтропия была бы

Δ С знак равно ζ Т [ | л 1 − л 0 | / т л ] 2 т А л ∼ 1 т

Таким образом, медленное расширение действительно уменьшает производимую энтропию.

Насколько медленным является обратимое адиабатическое расширение идеального газа?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v