Насколько плотной должна быть планета Земля, чтобы иметь такую ​​же гравитацию, как у Юпитера?

Есть как минимум две интерпретации этой проблемы:

Согласно Википедии , поверхностная гравитация Юпитера равна$2.528$раз земной. Таким образом, если бы Земля была$2.528$раз плотнее, у него будет такая же поверхностная гравитация, как у Юпитера. Плотность тока на Земле$5.514$граммов на кубический сантиметр, поэтому новая плотность будет$2.528 \times 5.514$, или около$13.9394$грамм на кубический сантиметр. Это предполагает, что мы меняем массу Земли, но не ее радиус.

Ответ @Rob_Jeffries предполагает, что масса Земли остается постоянной, а радиус изменяется. Если радиус уменьшится в раз$2$, объем уменьшится в$8$, и планета становится в 8 раз более плотной. Поверхностная гравитация увеличивается на$4$, так как это зависит от квадрата радиуса. В общем, уменьшение радиуса планеты на$x$увеличит плотность на$x^3$и гравитация на$x^2$. Если мы хотим, чтобы гравитация$2.528$раз выше, мы выбираем$x = \sqrt{2.528}$или рядом$1.590$. Это делает$x^3$примерно равно$4.019$. Умножив это на текущую плотность Земли$5.514$, мы получили$22.16$граммов на кубический сантиметр, довольно близко к тому, что получил Роб.

Таким образом, вы не можете реально изменить плотность, не меняя ничего другого: должны измениться либо масса, либо объем.

Вам нужны только две формулы. Гравитационное поле сферически-симметричного распределения массы определяется выражением

$$g = \frac{GM}{R^2},$$ куда $M$это масса внутри радиуса $R$. Вторая формула: средняя плотность шара - это его масса, деленная на его объем, поэтому $$\rho = \frac{M}{(4/3)\pi R^3}$$

Эти две формулы, очевидно, можно сложить вместе, чтобы получить гравитационное поле как функцию массы и плотности.

$$g = \frac{GM}{(3M/4\pi \rho)^{2/3}}$$ $$\rho = \frac{3}{4\pi} g^{3/2} M^{-1/2} G^{-3/2}$$

С использованием$g=24.8$РС$^{2}$для поверхностной гравитации Юпитера и$M=6\times10^{24}$кг для (неизменной) массы Земли. Мы получаем$\rho = 22096$кг/м$^{3}$.

Обратите внимание, что мой ответ предполагает, что масса Земли фиксирована. Если вместо этого вы измените массу и оставите радиус фиксированным:

$$\rho = \frac{3g}{4\pi G R}$$ который дает $\rho = 13930$кг/м $^{3}$.

Вы не можете оставить массу и радиус фиксированными!