Насколько широкой должна быть ледяная стена, чтобы оставаться на месте?

Любое поперечное сечение вашей стены поддерживает вес всей стены над ней. В первом приближении каждое поперечное сечение будет находиться в состоянии чисто осевого сжатия. Наиболее востребованным поперечным сечением будет сечение в самом низу, которое будет выдерживать сжимающее давление$\rho h g$, где$\rho$плотность льда,$h$высота стены и$g$ускорение силы тяжести. Вы можете сравнить это значение с прочностью льда на сжатие и использовать это, чтобы определить, разрушится ли ваша стена или нет.

Ваша самая большая проблема будет заключаться в том, чтобы выяснить, какие параметры использовать, которые, по-видимому, очень зависят от того, как образовался лед, при какой температуре он находится... Просто взглянув на фазовую диаграмму льда, становится ясно, что его будет иметь сложное поведение. Может оказаться, что сжимающая сила вызывает фазовый переход льда в нижней части стенки, так что тогда придется рассматривать верхний и нижний участки отдельно. Я нашел пару очень старых ссылок, здесь и здесь , которые я просмотрел только по диагонали. Но то, что о механических свойствах льда можно написать почти 100 страниц, говорит о многом…

В качестве примечания: если вы готовы пожертвовать идеально вертикальными стенами, имея стену с шириной, растущей как$A e^{by}$, где$y$расстояние по вертикали от верха стены, будет иметь одинаковое сжимающее давление в каждом поперечном сечении. Это означает, что вы используете весь наш лед с максимальной несущей способностью, а также избегаете различных давлений, создавая секции с разными фазами.

Нам нужно больше узнать о льде, из которого мы хотим построить стену.

Например, для льда в ледяных щитах у вас есть лед, который эффективно достигает пластической области кривой напряжения-деформации при температуре около$0,5 MPa$. Я не геолог, но считаю, что ледники могут быть только толще$\sim 50 m$благодаря его специфической форме и тому факту, что окружающая среда прижимает ледник и не позволяет ему рушиться (в основном). Этого не было бы в случае узкой стены, где уже на$50 m$лед из природного ледяного щита раскрошится, прежде чем достигнет пластичности (у меня такое чувство, что пластичность будет вызвана не только микроскопическим разрушением структуры, но и мезоскопическими зернами льда, ломающими друг друга и движущимися).

Это исследование геологической службы США прагматически оценивает «прочность на раздавливание» льда и обнаруживает, что лучший лед, который вы можете найти в природе при идеальной температуре, имеет более низкий предел прочности на сжатие примерно при$\sim 400 \, pounds/inches^2 = 2,8 MPa$.

Как уже сказал Хайме , главная проблема заключается в самом нижнем куске льда, несущем на себе давление всей колонны над ним. Это давление

$$P=\rho h g \approx 1000 kg \cdot m^{-3} \cdot 200 m \cdot 10 m\cdot s{-2} = 2 MPa \, .$$ Итак, если не брать любой лед, а оптимизировать его свойства, то можно построить стену любой толщины до высоты $200m$.

---

Но нашу интуицию справедливо не удовлетворяет видение могучей ледяной стены толщиной с бумажный лист. Такая стена, очевидно, опрокинулась бы от малейшего дуновения воздуха, не говоря уже о великане верхом на мамонте с далекого севера за Стеной. (Я предполагаю, что не случайно высота такая же, как у Стены из Игры Престолов :)

Очевидно, что более толстая стенка делает ее менее склонной к проделыванию отверстия, но давайте сосредоточимся на вопросе устойчивости . Во-первых, сам факт того, что более толстая стена тяжелее, затрудняет опрокидывание на критический угол, при котором стена падает сама по себе. Во-вторых, большая база приводит к тому, что угол опрокидывания намного выше, и начальный крутящий момент для начала опрокидывания намного больше. Если начертить схему стены толщиной$d$и высота$l$, легко показать, что для угла опрокидывания$\alpha_t$у нас есть

$$tan(\alpha_t) = \frac{d/2}{h/2} \to \alpha_t = arctan \left( \frac{d}{h} \right) \,.$$ Или угол наклона $\alpha_t$всегда растет с отношением $d/h$. Кроме того, начальный крутящий момент, необходимый даже для начала опрокидывания стенки, также увеличивается с толщиной стенки. Начальный крутящий момент $\tau$должно быть $$\tau = F_{proj} l \,,$$ где $l = \sqrt{(d/2)^2 + (h/2)^2}$- расстояние до нижнего края стены от центра масс и $F_{proj} = M g d/l$часть веса стены с массой $M$перпендикулярно длине $l$. Крутящий момент, необходимый даже для того, чтобы начать опрокидывать стену, равен $$\tau = Mgd \,.$$ Таким образом, крутящий момент, необходимый для опрокидывания стены, просто пропорционален как массе стены, так и ее толщине. Учитывая тот факт, что масса также является функцией $d$, мы имеем еще более крутой рост устойчивости нашей стенки с ее толщиной.

---

Но будьте осторожны! Край, через который стена должна была бы опрокинуться, достигает практически бесконечного давления в процессе опрокидывания. Это следствие того, что самая нижняя часть ребра, над которым мы опрокидываем стену, несет на себе вес всей стены. Таким образом, мы должны построить стену так, чтобы требуемое$\tau$чтобы даже начать давать чаевые, злоумышленник никогда не доберется до него. Вам даже не нужно использовать так много льда - основание для опрокидывания значительно увеличено, например, за счет небольшого изгиба стены.

Даже если мы обеспечим достаточно большое основание, мы должны быть уверены, что злоумышленник на самом деле не оказывает достаточного давления, чтобы начать крошить нижние края стены. Например, очень сильный порыв ветра, такой как обнаруженный в Австралии, может оказать динамическое давление примерно в$0.9 MPa$. Этот удар наверняка был бы смертельным, но даже более слабые могли раскрошить стену из-за неоднородностей и неравномерного распределения давления.

В целом,$700 ft \sim 200 m$Высокая Стена из Игры Престолов просто немного нереальна. Трудно себе представить, чтобы технология и координация того времени могли создать такой неизменно идеальный лед, какой мы представляли до сих пор. Во всяком случае, моим лучшим предположением была бы оценка общего максимального давления.$\sim 2 MPa$приводит к тому, что$100 m$высокая устойчивая стена. Принимая во внимание, что даже каменные сооружения в средние века, такие как соборы, никогда не были выше, чем около$160 m$, даже$100 m$Стена изо льда была бы грозной. Очевидно, что Физика тут задыхается, рассуждения требуют, чтобы Магия была задействована.

Как известно, Эйфелева башня показывает, что «хорошая» самонесущая конструкция не имеет одинакового сечения — вместо этого на каждом уровне размер опорной поверхности достаточно велик, чтобы выдержать вес конструкции над ней, не достигая перелома. предел текучести строительного материала.

Точка плавления льда зависит от давления, поэтому первое, что нужно сделать, это убедиться, что температура не просто «ниже точки замерзания воды», а ниже точки замерзания воды при любом давлении, с которым мы можем столкнуться. Фазовая диаграмма воды (из http://www.homepages.ucl.ac.uk/~ucfbanf/images/ice2.jpg ):

Тем не менее, столб льда высотой 200 м создает давление примерно в 20 атмосфер, или 0,002 ГПа, так что на самом деле это не проблема.

Вам действительно нужно знать плотность льда — она примерно 0,92 плотности воды. Вам также необходимо знать гравитационное ускорение: оно немного меняется в зависимости от положения на Земле, но если предположить, что вы действительно находитесь на Земле,$9.8 kg/m^2$является довольно хорошим приближением. Таким образом, фактическое давление на дне 200-метровой ледяной стены составляет$9.8 * 0.92 * 10^3 * 200 = 1.8 MPa$

Далее вас беспокоит прочность льда на сжатие — которая, согласно http://pubs.usgs.gov/wri/wri024158/wri024158_files/w024158p33_48.pdf , варьируется от 58 до 1046 фунтов на квадратный дюйм. Принимая 1000 фунтов на квадратный дюйм как красивое круглое число, это соответствует давлению почти 7 МПа и водяному столбу 700 метров. Плотность льда примерно 0,92 плотности воды, и вы сможете удержать стену высотой 760 м.

Но это не весело. Если вы сделаете лед «недостаточно крепким», вы все равно можете сделать высокую стенку, изменив форму стенки — толще внизу, тоньше вверху. Как я уже сказал выше, экспоненциальная форма «идеальна», но вы можете сделать расчет для треугольника: лед с плотностью$\rho$в треугольном сечении основания$b$и высота$h$имеет массу$1/2 h b$на единицу длины и, таким образом, оказывает давление$1/2 h$независимо от ширины основания. Вы только что построили стену, которая была в два раза выше для заданной прочности льда, используя довольно простую математику, и у вас был бы разумный шанс построить такую ​​стену с точными размерами даже с относительно неквалифицированным трудом (см. Пирамиды для других примеров таких форма...).

Говоря о пирамидах, они обнаружили еще одну механическую проблему при строительстве слишком высоких и слишком крутых: касательные напряжения в материале могли вызвать проскальзывание, которое разрушило бы пирамиду. Первоначально построенная под углом 54 градуса, египтяне обнаружили - после фатального обрушения пирамиды Мейдум, которая также была построена под углом 54 градуса - небезопасно строить пирамиду слишком круто. Когда-либо практичные, они просто продолжили с меньшим углом 43 градуса. Атрибуция: первоначальным загрузчиком был Ивриенен из en.wikipedia — перенесено из en.wikipedia; передано в Commons пользователем: Leoboudv с использованием CommonsHelper. Лицензия CC BY 3.0 через Wikimedia Commons .

Между прочим, прочность льда зависит от скорости приложения нагрузки:

Это ужасный график, если вы хотите построить высокие стены изо льда, потому что он говорит о том, что огромная прочность, которую вам обещали материаловеды, просто не держится при низких скоростях деформации (другими словами, в пределе вечная стена», вещи будут медленно течь на землю). Обратите внимание, что это становится значимым при ставках ниже$10^{-6}$- эквивалент стены высотой 200 м, сжимающейся на$200 \mu m / s$или 17 метров в сутки. Ой...

Приведенный выше график взят из интересной статьи о прочности льда: http://www.tms.org/pubs/journals/JOM/9902/Schulson-9902.html , в которой содержится гораздо больше интересной информации. Вероятно, самым забавным фактом является тот факт, что они исследовали использование гигантских искусственных айсбергов в качестве авианосцев во время Второй мировой войны. Хотя такой корабль так и не был построен, в ходе исследований было обнаружено, что добавление небольшого количества (4%) целлюлозы из канадской ели может удвоить прочность льда и, что более важно, значительно увеличить ударопрочность, что важно для авианосца. и за ледяную стену крепости, скажем. Фактически вес к весу придавал льду ударопрочность бетона. Ницца - низкотехнологичный композит.

Итак, если вы хотите построить свою стену:

• Стройте его под углом: шире у основания, уже вверху.
• Добавьте мякоть канадской ели, чтобы сделать его крепче.
• Ожидайте, что он будет медленно течь под собственным весом: так что продолжайте его наращивать...

Предполагая, что «лед ведет себя как деформируемый пластичный материал, а это означает, что существует критическое напряжение сдвига, ниже которого не возникает никакой деформации (деформации или течения)», Вертман вывел равновесный профиль ледяного поля, при котором напряжение не превышает критического. ценить. Он обнаружил, что высота примерно

$$h = \sqrt{\lambda L}$$ где $\lambda$составляет около 10 метров и $L$составляет половину ширины. Таким образом, нетекучее ледяное поле высотой 200 метров должно иметь ширину 7 км. Согласно статье в Википедии , за пределами критического напряжения скорость потока увеличивается пропорционально кубу напряжения, поэтому гораздо более узкая стенка будет быстро опускаться к равновесному профилю.