Насколько велика тень Луны на Земле во время затмения?

Но насколько велика эта тень? Сколько километров его диаметр?

Это фотография тени и полутени на поверхности Земли, сделанная из космоса. Он немного искажен, потому что находится не прямо под МКС, а далеко от терминатора.

Трудно определить размер полутени, потому что она нечеткая и тускнеет по краям, но если бы вы могли видеть самые края, то она была бы в два раза больше ^{диаметра} Луны или примерно в 6900 километров.

^† На самом деле это верно только по совпадению, потому что угловой диаметр Солнца совпадает с угловым диаметром Луны. Ответ @Flaffo хорошо объясняет, как рассчитать диаметр тени, и эту математику, вероятно, можно расширить и для расчета диаметра полутени.

Тень имеет четко определенный диаметр, но размер сильно варьируется из-за изменения расстояния от Луны до Земли, поскольку ее орбита не является круговой. Иногда Луна находится так далеко, что не может затмить Солнце, и тени вообще нет, это называется кольцеобразным затмением.

Википедия говорит :

Обычно ширина тени составляет 100–160 км, а диаметр полутени превышает 6400 км.

Источник: Геометрия полного солнечного затмения.

Вы можете увидеть пример очень подробной симуляции только тени, движущейся по поверхности Земли, в видеоролике Годдарда НАСА. Отслеживание солнечного затмения 2017 года. Точная трехмерная форма Луны создает тень, а затем она движется по контуру топографии Земли. . Если вы думаете, что форма странная, я согласен! См. ответы на Тень Луны не могла выглядеть так — не так ли? (также см. Каковы углы «Луны L, B, C», показанные в этой симуляции солнечного затмения? )

Вот скриншот:

Тень имеет четко определенный диаметр, но размер варьируется из-за эксцентриситета орбит Земли и Луны. Луна может быть так далеко, что вообще не может заполнить солнечный диск (например, Луна в апогее, а Земля в перигелии).

Однако теоретически мы можем определить диаметр тени, которую Луна отбрасывает на Землю. Для расчета требуется только элементарная геометрия и красивое изображение. Получаем максимальный радиус:

$\displaystyle r_{u} = R_{m} - \frac{d_{m}- R_{e}}{d_{e} - d_{m}} (R_{s} - R_{m})$

где$R_m, R_e, R_s$- радиусы Луны, Земли и Солнца соответственно,$d_{m}$это расстояние Луна-Земля,$d_{e}$это расстояние Земля-Солнце.

Мы можем исследовать несколько случаев, варьируя расстояния$d_{m}$и$d_{e}$, в соответствии с эксцентриситетами орбит.

Чтобы найти максимально возможный радиус тени, возьмем$d_m = a_m (1- e_m)$(Луна в перигее) и$d_e = a_e (1+e_e)$(Земля в афелии), где$e_e, e_m$- эксцентриситеты орбит Земли и Луны соответственно, и$a_e, a_m$их большая полуось. Это имеет смысл, потому что для получения самого широкого лунного затмения нам нужна большая (и, следовательно, близкая) Луна и маленькое (и далекое) Солнце. Подставляя некоторые типовые значения, получаем$r_u \approx 120$км (около$240$км максимальной ширины). Однако такая ситуация крайне маловероятна (по моим оценкам, это случается примерно раз в столетие).

Это уравнение также говорит нам, что в среднем ($d_m = a_m, d_e = a_e$), мы не видим никакого затмения ($r_u$будет отрицательным).

Нам нужно, чтобы Луна была близка к перигею, и в этом случае, предполагая среднее расстояние до Земли ($d_e=a_e$), мы получаем$r_u \approx 80$км и шириной$160$км. Результат, который может показаться уже знакомым!

Точно так же, как предложил @uhoh, мы можем рассчитать ширину полутени. Теперь вместо того, чтобы рассматривать луч$T_{s,1} T_{l,1}$, берем луч$T_{s,2} T_{l,1}$. Ясно, что это эквивалентно взятию$R_s \rightarrow - R_s$. Затем мы получаем

$\displaystyle r_{p} = R_{m} + \frac{d_{m}- R_{e}}{d_{e} - d_{m}} (R_{s} + R_{m})$

Теперь максимальный радиус полутени получается при$d_e = a_e (1-e_e)$(Земля в перигелии) и$d_m = a_m (1+ e_m)$(Луна в апогее). В этом случае мы получаем$r_p \approx 3650$км и шириной$7300$км.

Если вместо этого мы возьмем среднее расстояние до Земли, мы получим$r_p = 3600$км, то есть всего$7200$км, недалеко от ответа @uhoh.

В случае минимальной ширины принимаем$d_e = a_e (1+e_e)$(Земля в афелии) и$d_m = a_m (1- e_m)$(Луна в перигее). Затем мы получаем$r_p = 3400$км, то есть всего$6800$км.

В любом случае ширина примерно вдвое больше диаметра Луны ($7000$км), но заметьте, это всего лишь совпадение и связано с тем, что угловые диаметры Луны и Солнца очень близки друг к другу. Действительно, упрощая предыдущее уравнение, можно пренебречь$R_e$в числителе,$d_m$в знаменателе и приблизительно$R_s -R_m$только с$R_s$. Затем мы видим, что

$\displaystyle r_p = R_m + \frac{d_m}{d_e} R_s = R_m \Big(1+ \frac{R_s / d_e}{R_m / d_m} \Big)$

но$R_s / d_e$и$R_m / d_m$- угловые диаметры Солнца и Луны, поэтому дробь примерно равна 1 (фактически в среднем 1,03), и мы восстанавливаем$r_p \approx 2 R_m$. © Флавио Сальвати, 2020

Другие ответы великолепны, но если вам нужен удобный инструмент для изучения следующих и прошлых затмений, загляните на этот крутой веб-сайт !

Он позволяет искать все затмения (солнечные и лунные + транзиты Меркурия и Венеры) за прошлые и ближайшие пару столетий. Еще интереснее треки теней, по которым можно получить как сводку по декадам, так и подробный анализ по каждому затмению. А как насчет имитации вида неба? Да тоже так бывает!!!

Любопытно, что в 2040-х годах будет несколько солнечных затмений странной формы, таких как полное затмение 9 апреля 2043 года над востоком России, которое «обрезается», потому что солнце еще не взошло в начале события:

... так что я думаю, что, как и в большинстве случаев, полный ответ будет " это сложно... ", но получайте удовольствие!