Нелинейная оптика как калибровочная теория

широко используемый подход к нелинейной оптике - это разложение Тейлора поля диэлектрических смещений Д знак равно ϵ 0 ⋅ Е + п в фурье-представлении поляризации п по диэлектрической восприимчивости Икс :

п знак равно ϵ 0 ⋅ ( Икс ( 1 ) ( Е ) + Икс ( 2 ) ( Е , Е ) + … ) .

Это расширение уже не работает , если поле возбуждения имеет компоненты, близкие к резонансу среды. Затем нужно принять во внимание всю квантово-механическую ситуацию, например, описав взаимодействие света/материи двухуровневым гамильтонианом.

Но этот подход, конечно, не самый общий .

Внутренне нелинейные формулировки электродинамики

Итак, какие существуют нелинейные формулировки электродинамики, данные в лагранжевой формулировке?

Одним из известных анзацев является модель Борна-Инфельда, на которую указал Раскольников. Там плотность лагранжиана определяется выражением

л знак равно б 2 ⋅ [ − дет ( грамм мю ν ) − − дет ( грамм мю ν + Ф мю ν / б ) ]

и у теории есть некоторые приятные особенности, такие как, например, максимальная плотность энергии и ее связь с калибровочными полями в теории струн. Но, насколько я понимаю, эта модель является по своей сути нелинейной моделью самого поля свободного пространства и бесполезна для описания нелинейного взаимодействия материи.

То же верно и для анзаца вида

л знак равно − 1 4 Ф мю ν Ф мю ν + λ ⋅ ( Ф мю ν Ф мю ν ) 2

предложенный Махзуном и Риази . Конечно, описание системы в квантовой электродинамике по своей сути нелинейно и... на мой взгляд, слишком сложно для макроскопического описания нелинейной оптики. Вопрос в том , можем ли мы по-прежнему получить хорошую формулировку теории, скажем, в виде теории среднего поля через эффективный лагранжиан?

Я думаю, что подходящий анзац может быть

л знак равно − 1 4 М мю ν Ф мю ν

куда М теперь учитывает реакцию вещества и зависит нелинейным образом от Е а также Б , сказать

М мю ν знак равно Т мю ν α β Ф α β

где сейчас Т является нелинейной функцией напряженности поля и может подчиняться определенным симметриям. Уравнение Т знак равно Т ( Ф ) остается неизвестным и зависит от материала.

Метрика против. Т подход

Как указывает space_cadet , можно задаться вопросом, почему нелинейность не лучше подходит для самой метрики. Думаю, это дело вкуса. Я хочу сказать, что явное изменение метрики может подразумевать нестационарное пространство-время, в котором преобразование Фурье не может быть четко определено . Вполне достаточно рассматривать пространство-время как лоренцево многообразие.
Кроме того, нам может понадобиться простая структура пространства-времени позже, чтобы объяснить взаимодействие материалов, поскольку поляризация п зависит от ответа на вопрос, как правило, с точки зрения интеграции по прошлому, скажем

п ( т ) знак равно ∫ − ∞ т р [ Е ] ( т ) г т

с р будучи некоторой нелинейной функцией отклика (al), связанной с Т мю ν α β .

Примеры для Т

Для иллюстрации идеи Т , вот несколько примеров.
Для свободного места , Т это дано Т мю ν α β знак равно грамм мю α грамм ν β что приводит к лагранжиану в свободном пространстве л знак равно − 1 4 Т мю ν α β Ф α β Ф мю ν знак равно − 1 4 Ф мю ν Ф мю ν Лагранжиан Махзуна и Риази можно восстановить с помощью
Т мю ν α β знак равно ( 1 + λ Ф γ дельта Ф γ дельта ) ⋅ грамм мю α грамм ν β .
Используя этот лагранжиан, можно было бы вывести керровскую нелинейность.

Итак, кто-нибудь знаком с описанием нелинейной оптики/электродинамики в терминах калибровочной теории поля или чего-то подобного изложенным здесь мыслям?

Заранее спасибо.

Искренне,

Роберт

Комментарии к первой Баунти

Хочу поблагодарить всех активно участвующих в обсуждении, особенно Greg Graviton , Marek , Raskolnikov , space_cadet и Willie Wong . Я наслаждаюсь дискуссией по этому вопросу и благодарен за все хорошие наводки, которые вы дали. Я решил отдать награду Вилли, так как он дал треду новое направление, представив нам материальное многообразие .
На данный момент я должен пересмотреть все идеи, и я надеюсь, что смогу предложить новую версию вопроса, который должен быть сформулирован более четко, как он есть на данный момент.
Итак, еще раз спасибо за ваш вклад и рады поделиться новыми идеями.

Я не уверен, что вы хотите. КЭД — это калибровочная теория, рассказывающая почти все, что вы хотели бы знать о взаимодействии света с материей. Но я предполагаю, что этот уровень подхода редко полезен. Обычно вы хотели бы работать с рассеянием фотонов на некоторой решетке, и это просто физика конденсированного состояния. Мягко говоря, некоторые из моих друзей работают в области квантовой оптики, и им даже не нужно знать теорию поля (не говоря уже о калибровочной теории). Обычно они имеют дело только с материаловедением.
@Marek: спасибо за ваш комментарий. Я отредактировал вопрос и надеюсь, что он проясняет, о чем я прошу. Конечно, при работе с такой теорией почти всегда можно забыть о ее калибровочном характере. То, что я ищу, - это калибровочное теоретическое описание нелинейной оптики, я не спрашиваю, облегчит ли это какие-либо вычисления :)
@Robert: спасибо за разъяснение, но я все еще не уверен, чего ты хочешь. Вы только что переписали Д а также ЧАС с точки зрения М но это никак не меняет физику. Вы просто ищете другой формализм (в том же духе, что уравнения Максвелла лучше выражаются в терминах г Ф знак равно г 2 А знак равно 0 а также дельта Ф знак равно Дж )?
@Marek: Еще раз спасибо за ваш высоко оцененный комментарий. Действительно, поскольку « М -формулировка эквивалентна уравнениям Максвелла, скажем г Ф знак равно 0 г * М знак равно * Дж , новой физики нет. Итак, одна часть моего вопроса может заключаться в следующем: можем ли мы определить симметрию в лагранжиане материи, ведущую к известным эффектам нелинейной оптики (Керр, 2-й вред., ...)? Должен заявить, что я никоим образом не являюсь специалистом ни в нелинейной оптике, ни в калибровочной теории, поэтому вопрос может быть поставлен некорректно.
Послушайте, вы слишком абстрактно подходите к этому вопросу. Возможно, вам следует начать с конкретного материала с нелинейными оптическими свойствами и посмотреть, как вы сможете его описать. Попробуйте составить для него калибровочно-инвариантное уравнение нелинейного поля. Если не можете, то нет особого смысла ломать над этим голову. Если вы можете, у вас есть основа, чтобы попытаться обобщить. Но вы мало что добьетесь, если не сможете таким образом смоделировать даже простейший нелинейный материал.
Только что отредактировал одно французское и одно немецкое слово, которые вы использовали в своем тексте. :) ("ансац" иногда используется в тестах по английской физике, но не очень часто, и многие его не поймут.)
@Noldorin: эта страница в Википедии с вами не согласится. Действительно, читая математическую и физическую литературу (как книги, так и статьи) я встречаю это слово гораздо чаще, чем хотелось бы :-) Кстати, какой правильный английский термин?
@Raskolnikov: Спасибо за предложение, кажется, это хорошая отправная точка.
@Marek: Как говорится в статье в Википедии, «подход», «настройка» или «отправная точка» являются хорошими приблизительными английскими эквивалентами. Я уверен, что вы прекрасно осведомлены о том, что статьи в Википедии слишком часто содержат ужасно неверные/необоснованные утверждения - надеюсь, вы примете мое наблюдение как говорящий/читающий по-английски. :) Действительно, я не очень вижу смысла использовать иностранные слова в статьях, где есть вполне хороший родной эквивалент. (Хотя в случае очень редкого «непереводимого» это вполне справедливо.)
Анзац в порядке, его можно заменить словом «постулат» или угадать, как предлагает Википедия. В своей двумерной статье Изинга Онзагер использовал «eigenwert» для собственного значения. На самом деле, даже лучшим переводом было бы «правильное значение». Очень много немецких слов вошло в науку, в основном в период с конца 19-го по начало 20-го века. «Геданкенэксперимент» — еще один.
@Noldorin: ах, я пропустил, что там написано. В любом случае, эти термины не совсем отражают суть анзаца. Догадка @ Раскольникова намного ближе. Но это звучит слишком случайно, в то время как анзац обычно является результатом умного понимания. Кажется, я помню, как один из моих учителей упомянул что-то вроде «обоснованной догадки».
@Marek: Да, статья в Википедии тоже предполагает это. ;) Хотя я предпочитаю "подход". В любом случае, это слово, кажется, теряет популярность в английском языке, который является только хорошим.
@Raskolnikov: Я бы не стал много говорить, далеко не так. Вернее, избранных. В любом случае в математике гораздо больше латинских слов. В любом случае, как англичанин, я, например, не нахожу это желанным! («Собственное значение», однако, стоит сохранить.)
@Noldorin: хех, наверное, мне следует начать читать ссылки, которые я предоставляю :-) Я не знаю, мне нравится это слово. На мой взгляд, действительно хорошей альтернативы нет.
Да, пожалуй, идеального перевода на английский не бывает. Тем не менее, я опасаюсь добавлять больше жаргона без веской причины. Я также слишком горжусь английским языком.
Эй, ребята, я могу заметить, что это становится немного не по теме... да, я немец, и мне кажется совершенно нормальным использовать английские слова (с немецким происхождением) ansatz, bremsstrahlung, zitterbewegung, eigen * и т.д. в моих постах :) Почему бы и нет? Нолдорин, я полагаю, ты используешь в своих сообщениях гораздо больше слов из своего родного языка, чем я ;)
Хорошо сказал Роберт. Тот факт, что английский язык используется для общения в области физических исследований, в настоящее время ... Несколько сотен лет назад это был французский, а затем немецкий. До этого была латынь. Через несколько сотен лет это, вероятно, будет какая-то комбинация мандаринского/кантонского диалекта и хинди.
@space_cadet: Действительно. Может быть, даже не так уж и долго...
@robert Я был консервативен в своих оценках времени :-)
@Robert: Конечно, можешь, просто многие могут тебя не понять! Я уже разъяснил свою точку зрения; Иностранные слова хороши, но, на мой взгляд, их следует использовать только тогда, когда нет подходящего английского эквивалента. Я даже не понимаю твою точку зрения. Я англичанин, поэтому пишу по-английски.
@Noldorin: Спасибо за беспокойство. Но я думаю, что люди, привыкшие к научной литературе, знакомы с этими словами. Ирония в том, что английский язык не является родным для многих людей здесь; И в первый момент, когда используется слово, которое сразу не входит в словарный запас носителя языка, оно заменяется. Я очень ценю, что вы помогаете прояснить ситуацию, но на самом деле это было ... довольно забавно :)
@Robert: Я действительно не ценю сарказм. Хотите верьте, хотите нет, но английский сегодня является лингва-франка, в науке и в других местах. (Какой позор, что нацисты проиграли, а?) И да, я сказал это только для того, чтобы выполнить закон Годвина. Спасибо.
@Noldorin: извините, если я вас обидел. Я передал сообщение с улыбкой, надеясь, что вы увидите забавную часть всего обсуждения. Действительно, никто не сомневается в вашем втором пункте, но я надеюсь, что вы извините себя позже за часть в скобках.
@Robert: Нет, это была шутка (и факт), так что вовсе нет.

Ответы (4)

Всего несколько случайных мыслей.

В вашем наблюдении есть что-то важное, что модель Борна-Инфельда по существу является моделью свободного пространства. Известно Бойя и Плебански (отдельно в 1970 г.), что модель Борна-Инфельда является единственной моделью электромагнетизма (как связи на U ( 1 ) векторное расслоение), удовлетворяющее следующим условиям

  1. Ковариация при преобразованиях Лоренца
  2. Сводится к уравнению Максвелла в пределе напряженности малого поля
  3. U ( 1 ) калибровочная симметрия
  4. Интегрируемая плотность энергии точечного заряда
  5. Нет двойного лучепреломления (скорость света не зависит от поляризации).

(линейная система Максвелла не удовлетворяет условию 4.) (См. Michael Kiessling, "Electromagnetic field theory Without divergence Problems", J. Stat. Phys. (2004) doi:10.1023/B:JOSS.0000037250.72634.2a для изложения этого и связанные вопросы.)

Теперь, поскольку вас интересует нелинейная оптика внутри материала, а не в вакууме, я думаю, что условия 1 и 5 можно смело отбросить. (Хотя вы можете оставить 5, как само собой разумеющееся.) Условие 4 интуитивно приятно, но, возможно, не слишком важно, по крайней мере, до тех пор, пока у вас не будет в голове нескольких теорий-кандидатов, которые вы хотите отличить. Условие 3 вы должны соблюдать. Условие 2, с другой стороны, действительно зависит от того, какой материал вы имеете в виду.

В любом случае, небольшое предложение: лично я считаю, что лучше с самого начала написать предложенный вами лагранжиан как

л знак равно Т а б с г Ф а б Ф с г

вместо М а б Ф с г . Я думаю, что вообще предпочтительнее рассматривать лагранжевы теории поля по крайней мере квадратичной зависимости от полевых переменных. Чисто линейный термин предполагает наличие внешнего потенциала, который, я думаю, не должен быть встроен в теорию.

Если вы хотите что-то вроде условия 2, но с диэлектрической проницаемостью или чем-то подобным, то у вас должно быть это Т а б с г допустим, расширение Тейлора выглядит примерно так

Т а б с г знак равно грамм ~ а с грамм ~ б г + О ( | Ф | )

куда грамм ~ — некоторая эффективная метрика материала. Двойное лучепреломление, однако, вам не нужно вставлять явно: скорее всего, это общее (линейное или нелинейное) Т а б с г вы записываете, будет двулучепреломление; только когда вы пытаетесь исключить это, вы вводите некоторые ограничения.

Интересно рассмотреть, что означает иметь понятие, аналогичное условию 1. В случае свободного пространства условие 1 подразумевает, что лагранжиан должен быть только функцией инварианта Лоренца Б 2 − Е 2 (в натуральных единицах) и псевдоскалярного инварианта Б ⋅ Е . В терминах тензора Фарадея эти два инварианта равны Ф а б Ф а б а также Ф а б * Ф а б соответственно, где * обозначают двойственный по Ходже. Определение линейной части вашей теории (электромагнитных волн в материале) в основном зависит от того, что вы будете использовать для замены условия 1. Если вы предполагаете, что ваш материал изотропен и однороден, то некоторые подобные скалярные + псевдоскалярные инварианты наверное хорошая ставка.

@Willie Wong: Большое спасибо за содержательный ответ. Если я правильно понимаю вашу аргументацию, возможно, не удастся найти другую внутренне нелинейную формулировку, которая была бы лоренц-инвариантной. Имея некоторое релятивистское прошлое, я бы не осмелился отказаться от этого условия. Как вы думаете, иметь что-то вроде грамм × U ( 1 ) с новой группой, происходящей из взаимодействия материи (может быть, в каком-то духе электрослабого взаимодействия), было бы гораздо лучшим подходом? Искренне
@Robert: Что ж, взаимодействие материи даст много нового, но я подозреваю, что обратная реакция может быть в некотором смысле аппроксимирована чистой нелинейностью. Следует отметить следующее: вы действительно можете использовать какую-то идею теории эфира, чтобы нарушить локальную инвариантность Лоренца, сохраняя общую ковариантность для общей теории. То есть: если вы считаете свою оптическую среду неким жидким или упругим телом, эволюционирующим (возможно, независимо от электромагнитного поля в линейном приближении, кроме как под действием гравитации) в пространстве-времени, вы можете определить свою «оптическую метрику» Т через...
...свойства оптической среды. Например, в линейном случае, скажем, с релятивистским упругим телом в качестве материала, вы можете построить грамм ~ из обратного преобразования римановой метрики на материальном многообразии плюс фактор, исходящий от мировых линий частиц. Общая теория будет в целом ковариантной, но после «фиксации» оптической среды вы получите локальный фон, нарушающий лоренц-инвариантность. Так что я бы не слишком беспокоился о нарушении условия 1. Ослабление условий 4 и 5 также дает много-много других допустимых лагранжианов.
(Я должен сказать, что вышеизложенное вдохновлено недавней работой Теда Джейкобсона по теории Эйнштейна-Эфира, которая, я думаю, в некоторой степени связана с гравитацией Хоравы.)
@Willie: Большое спасибо за ваши дальнейшие объяснения. Должен признаться, что понятие материального многообразия для меня ново. Я всегда думал о сущностях, определенных на фоне пространства-времени, но с грамм ~ в качестве метрики этого многообразия можно в основном отбросить Т подход в пользу этого изогнутого материального многообразия. Я полагаю, что самым простым примером будет трансформационная оптика с диэлектрической проницаемостью ϵ в качестве грамм ~ если я не совсем не прав. Я не уверен, что вы имеете в виду под мировыми линиями частиц в этом смысле; (времяподобный -> свет) может геодезические?
@ Роберт: Ах! Краткий обзор релятивистской упругости. Пространство-время ( М , грамм ) является г + 1 размерный. Коллектор материалов ( Н , час ) является г размерный Риман. Карта материалов Φ : М → Н такие работы, как преобразование Эйлера-Лагранжа гидродинамики. Мы предполагаем, что г Φ является on-to и ядром, подобным времени. Словесные линии частиц - это кривые Φ − 1 ( п ) для некоторых п е Н , это грубо обозначает траекторию в пространстве-времени жидкой/материальной частицы. Для математического введения см. Tahvildar-Zedah «Релятивистская и нерелятивистская эластодинамика с малыми сдвиговыми деформациями»...
... здесь . Или dx.doi.org/10.1016/0393-0440(92)90028-Y от Kijowski и Magli. Резюме Бобби Бега также очень удобочитаемо. Теперь, если вы просто хотите реализовать нелинейную оптическую среду, вы можете практически забыть о базовом материале (просто предположить, что он существует и имеет некоторые свойства) и написать грамм ~ чтобы удовлетворить то, что вы хотите. Дело в том, что вы можете оправдать нарушение симметрии Лоренца, апеллируя к этому образу мыслей.
@Willie: Большое спасибо за объяснения и ссылки. Я примерно помню, что такое многообразие на самом деле используется только для оправдания анзаца. Один определяет проекции и находит что-то вроде Икс ⊥ знак равно г ф ( Икс ) − грамм ( Икс , ξ ) / ( грамм ( ξ , ξ ) ) ξ за ξ времяподобный и грамм ~ ( Икс , Д ) ≡ грамм ( Икс ⊥ , Д ⊥ ) чтобы все расчеты фактически выполнялись на М и все можно поставить ф . Кажется, это изощренный анзац, я тоже добавлю его к вопросу, если смогу сформулировать своими словами. Мои наилучшие пожелания

Нелинейный — модное слово, используемое для обозначения всего, что нелинейно. В зависимости от того, о каком виде нелинейности идет речь и, следовательно, о каком материале может быть та или иная симметрия, или может вообще не быть симметрии. Например, в сверхпроводниках калибровочная симметрия нарушена, и фотоны ведут себя так, как будто они приобрели массу. В результате магнитные поля имеют ограниченное проникновение в сверхпроводник. И я думаю, что это все еще описывается линейными уравнениями.

Я знаю одну калибровочно-инвариантную теорию, которая является нелинейной, эта модель называется моделью Борна-Инфельда .

Большое спасибо за ответ. До сих пор я не был знаком с теорией электродинамики Борна-Инфельда, но она выглядит очень интересной. Вы также указываете на одну важную вещь: разные материалы будут иметь разную симметрию. Именно это должно приводить к тому, что разные материалы подчиняются разным видам нелинейности, если они могут быть описаны калибровочной теорией. На данный момент мы можем не сосредотачиваться на более сложных вещах, таких как нарушение симметрии, если вам это удобно.

Вы задавали очень интересные вопросы! Вот мой взгляд на этот...

Вот что вы говорите об акции Борн-Инфельда:

Но, как мне кажется, эта модель является по своей сути нелинейной моделью самого поля свободного пространства и бесполезна для описания нелинейного взаимодействия материи.

Я не уверен, что именно вы подразумеваете под полем «свободное пространство». Я так понимаю, вы имеете в виду Ф мю ν . Что ж, нет причин, по которым нельзя было бы определить Ф мю ν для волн, распространяющихся нелинейно в среде или в вакууме.

Взаимодействие материи и света может быть определено (по крайней мере, частично, если не полностью) в виде грамм мю ν . А теперь потерпите меня минутку. Я не имею в виду метрику, созданную какой-то материей. Рассматриваемая метрика априори не удовлетворяет уравнениям Эйнштейна. Вместо этого это эффективная метрика, которую испытывают световые лучи, распространяющиеся в данном материале. См. эти превосходные статьи Ульфа Леонхардта и Томаса Филбина [1] , [2] для получения более подробной информации об этом понятии. Коротко о недиагональных компонентах грамм я Дж (куда ( я , Дж е { 1 , 2 , 3 } я ≠ Дж ) закодировать тензор восприимчивости и диагональные компоненты грамм 0 я определяют смешивание между электрической и магнитной составляющими волны.

Что касается лагранжевой плотности для взаимодействия материи и света, вы утверждаете:

л я н т ∝ М мю ν Ф мю ν знак равно Т мю ν α β Ф α β Ф мю ν

для плоского пространства (или без среды) Т мю ν α β знак равно грамм мю ν грамм α β , этот член сводится к Ф мю ν Ф мю ν что есть не что иное, как член Максвелла! На первый взгляд, это не дает нам ничего нового, если только мы не пойдем по пути, описанному выше, и не воспользуемся метрикой грамм мю ν для кодирования оптических свойств среды.

Еще одним направлением мысли, использующим это понятие метрики для того, чтобы говорить об аналогии между оптическими процессами и Большим взрывом, является феноменальная работа Игоря Смольянинова [3] . Кстати, эта статья была принята PRL, так что тут не на что чихать.

Предполагая, что приведенная выше цепочка рассуждений не имеет фатальных недостатков и что можно закодировать эффекты среды в метрике, кажется, что либо действие Максвелла, либо действие Борна-Инфельда являются совершенно хорошими кандидатами калибровочно-инвариантных действий для ваших целей. .

                                Cheers,

Изменить: нелинейность редукции

Как указал @Raskolnikov, идентификация компонентов грамм а б с оптической восприимчивостью материала не дает нам нелинейного материала. Для этого нужно иметь зависимость восприимчивостей от самих напряженностей поля. Итак, у вас есть механизм обратной связи. грамм → Ф → грамм и поэтому нелинейность ! Поэтому в целом, как @robert безуспешно пытается донести до меня, грамм вообще должно быть функцией Ф .

Но затем вы начинаете опасно приближаться к предположению, что каким-то образом конечная картина (для полностью нелинейного случая) может быть каким-то образом общей релятивистской. Это очень заманчивая идея, но я оставлю ее на другой раз.

@space_cadet: Спасибо за хороший ответ! Я как-то смутно знаком с трансформационной оптикой и ее анзацем к интерпретации. ϵ как метрика. Конечно, это то направление, в котором можно было бы попытаться направить физику. Тем не менее, я не думаю, что это может работать здесь, поскольку <a href=" math.stackexchange.com/questions/13902/… Преобразование Фурье будет иметь смысл только в том случае, если у вас есть времяподобное убивающее поле</a>. Это было причиной Я попытался поставить его на «Т».
Ах, приятно отметить, что вы можете моделировать нелинейность с помощью эффективной метрики! Это напоминает мне лекцию о финслеровых многообразиях . Если я правильно помню, они используются аналогичным образом с основными приложениями в геофизике для распространения всех видов сейсмических волн (где есть также продольные волны; возможно, это то, что вы подразумеваете под $g_{\mu\nu}, не обязательно удовлетворяющим EFE, которые требуют поперечных волн). Интересно, можно ли применить этот формализм и к случаю Роберта.
@Robert - времяподобный квф ... ?? Вы слишком все усложняете. У вас есть времяподобие kvf по умолчанию. Среда, через которую распространяется свет, предположительно находится в некоторой фоновой геометрии, которая близка к плоской, если только ваша лаборатория не находится на орбите вокруг действительно массивного объекта. tvkf в данном случае – это обычные часы. Глядя на эти проблемы, возникает искушение запутаться в жаргоне. По возможности следует избегать таких привычек.
@Marek - я должен упомянуть о том, что я не знаю, как (и может ли) этот подход работать для дисперсионных сред, которые составляют большую часть нелинейных материалов. Однако он отлично работает для оптически анизотропных материалов и материалов с магнитоэлектрическими свойствами.
@space_cadet: Спасибо за комментарий, вы абсолютно правы, не надо усложнять вещи. Я просто подумал, что метрику трогать не стоит, т.к. в отличие от трансформационной оптики, для материального отклика понадобится зависимость поля от времени (например, в терминах свертки). Изменение метрики (с помощью материала) может означать, что преобразование Фурье больше невозможно. Из этой аргументации вы можете понять, что я хотел бы уловить динамику в T, хотя описание в g также могло бы работать?
что вы подразумеваете под «Т» и «динамикой в ​​Т»?
Я также допускаю, что постановка задачи может быть не очень ясной, что затрудняет понимание идеи. Сожалею, что пока не могу сформулировать лучше.
@Robert, просто примечание: вы теряете преобразование Фурье, как только разрешаете нелинейные эффекты. Не секрет, что нелинейные уравнения в частных производных действительно сложны, и только очень немногие из них были решены (с помощью таких методов, как пара Лакса и обратное рассеяние). Так что я теперь совершенно сбит с толку относительно того, о каком смысле нелинейности вы говорите...
@space_cadet: Под TI подразумевается тензор T, который зависит от напряженности поля F. Я назвал эту зависимость динамикой, поскольку, если она нелинейна, решения л =< М , Ф >= Т ( Ф , Ф ) будет не только стационарным, если это удобная номенклатура.
T зависит от F? Как так? Разве T не просто дано Т а б с г знак равно грамм а б грамм с г ? Нет Ф а б в этом выражении
@Marek: Спасибо за вашу мысль. Совершенно верно, что нелинейные УЧП не могут (вообще) быть преобразованы в алгебраические уравнения с помощью преобразования Фурье/Лапласа. Но я думаю, что нам это все равно понадобится, так как Д знак равно ϵ 0 Е + п где сейчас п ( т ) знак равно ∫ − ∞ т Д ( Е ) ( т ) г т с Д некоторая нелинейная функция, связанная с тензором Т .
@space-cadet, это дало бы только «линейный материал».
@space_cadet: Этот T, который я явно указал в вопросе, является просто примером того, как это будет выглядеть для взаимодействия со свободным пространством. Тогда у нас просто есть Т ( Ф , Ф ) знак равно Ф ∧ ⋆ Ф и мы восстанавливаем обычный лагранжиан в свободном пространстве. Если сейчас Т зависит от Ф сама по себе теория внутренне нелинейна. Надеюсь, мой способ объяснения не слишком сбивает с толку.
@robert, я как бы слежу за тобой, но я не знаю, к чему ты клонишь.
@raskolnikov - вот чего я боялся. я упоминал об этом в более раннем комментарии. я надеялся, что никто не будет так внимательно смотреть ;-) вот и моя награда :(
@space_cadet: Я понимаю вашу точку зрения, я думаю, проблема в том, что формулировка вопроса не очень ясна. Придется подумать, как мотивировать запись, может быть, расчетным примером, как предлагал Раскольников. Я мог бы, например, получить эффект Керра с помощью Т мю ν α β знак равно ( 1 + λ Ф γ дельта Ф γ дельта ) ⋅ грамм мю α грамм ν β .
@Роберт. Смотрите мою правку. Ты, мой друг, что-то напутал!
@space_cadet: Спасибо за дальнейшее редактирование. Хочу попробовать донести до вас с другого ракурса :) Поле Ф в Стандартной модели по своей сути нелинейна из-за неабелева характера основной группы. Действительно, это можно интерпретировать как кривизну. Но не как искривление пространства-времени, это кривизна пучка волокон. Пространство-время в этой теории вообще не меняется, оно лишь фоновое пространство Минковского, и я, конечно, не вижу причин искривлять пространство-время с помощью нелинейных оптических эффектов. Затем у нас есть GR, как вы упомянули, и все становится беспорядочным (FT не определено и т. д.).
@space_cadet: Просто добавлю: не я, а мы :) Некоторое время назад я спросил, может ли страница сообщества написать статью. Если в этом вопросе что-то есть, возможно, стоит попробовать.
@space_cadet: Теперь, после объяснений, данных Вилли, я, наконец, могу понять вашу точку зрения на использование перемасштабированной метрики. грамм ~ . Допустим, мы оба были правы, но говорили с несколько иной точки зрения ;) Я включу эту идею в вопрос, если смогу изложить ее своими словами. Привет

Из курса теории поля конденсированного состояния я узнал следующее: микроскопически лагранжиан для электромагнитного поля выглядит так, как и предполагалось, минимально связанный с координатами частицы.

л знак равно ∑ я ( м 2 ( п я − е с А ( р я ) ) 2 − е Φ ( р я ) + … ) .

Однако на макроскопическом уровне после избавления от всех степеней свободы отдельных частиц с помощью большого канонического ансамбля может появиться новое поведение. А именно, эффективный лагранжиан для электромагнитного поля в теле может сильно отличаться от линейного. Например, эффективное действие ЭМ-поля в сверхпроводнике равно

С эфф [ А ] знак равно β 2 ∫ г 3 р А ⊥ ( р ) ( − 1 мю 0 ∇ 2 + н с м ) А ⊥ ( р )

куда мю 0 вакуумная проницаемость, н с сверхтекущая плотность, м масса электрона и А ⊥ - перпендикулярная компонента калибровочного поля, определяемая в пространстве Фурье как А ⊥ ( д ) знак равно А ( д ) − д ( д ⋅ А ( д ) ) / д 2 . Отличие от вакуумного действия заключается в дополнительном «массовом члене». н с / м , что вызывает эффект Мейснера.


Я полагаю, что вы спрашиваете о самой общей форме, которую могут иметь такие эффективные действия? У меня нет ответа, но я не понимаю, почему вообще должна существовать самая общая форма.

Привет @greg, вопрос не в этом. От них не требуется, чтобы рассматриваемая нелинейная теория была эффективной теорией. Также есть «общие формы» для эффективных действий. Многие различные гамильтонианы микроскопических моделей могут дать одну и ту же эффективную теорию макроскопически - до тех пор, пока гамильтонианы имеют одни и те же симметрии. Это свойство известно как универсальность. Также любое действие, эффективное или нет, должно удовлетворять основным требованиям калибровочной инвариантности (или инвариантности относительно канонических преобразований). Это очень эффективно ограничивает возможную форму действия.
@Greg Graviton: Спасибо за ваш ответ. Могу я спросить вас, существует ли сценарий вашего курса в Интернете? Я думаю, что получив в свои руки вывод этого макроскопического эффективного действия, я могу придать этому вопросу новое направление.
@space_cadet: Я думаю, что ответ просто отличный. Проблема в том, что мой вопрос не очень конкретен и просто опирается на расплывчатую идею. На самом деле мне придется потратить на это больше времени, что, к сожалению, не так просто :)
@space_cadet: Я думал, что Роберт спрашивал о нелинейной оптике в материи. Самая общая форма, конечно, л знак равно ф ( А , Φ ) с некоторым произвольным ф это калибровочный инвариант, но это бессмысленно. Но, как вы заметили, очень хорошим ответом была бы более специализированная классификация общих эффективных теорий в соответствии с микроскопическими гамильтонианами и их симметриями. К сожалению, я не осведомлен об этом.
@Robert: Боюсь, сценария нет. Тем не менее, курс следовал книге Альтланда Саймонса очень близко. Эффективное действие, о котором я говорю, дано уравнением (6.39), глава 6.4. Может быть, вы можете скачать электронную версию из вашей университетской библиотеки или где-нибудь еще. Имейте в виду, что я не смог бы понять (даже немного) книгу в одиночку, мне был необходим курс.
@Greg: Спасибо за явную ссылку. Я посмотрю, смогу ли я следовать его линиям :)
Нелинейная оптика как калибровочная теория
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v