Необходимы расчеты цикла затмения

Откровенно говоря, четыре тела не выстраиваются периодически, даже если их орбиты плоские, если только не существует общего множителя. Поскольку все ваши периоды являются целыми числами , это верно, но имейте в виду, что ваши двойные выравнивания, такие как двойное солнечное затмение или двойное лунное затмение, не являются периодическими, если один из периодов не точно следует этой целочисленной системе. (так что он не держится, например, 31,01 дня. О том, как вы справляетесь с квазипериодами, говорится здесь ).

1. Как часто обе луны будут полными одновременно, накладываясь друг на друга, как в яблочко?

Обычно непериодический, но может происходить только в синодический период двух лун, то есть:

.

$\frac{2418}{47}$для двух лун. Однако это также должно произойти, когда обе они находятся на одной линии с Солнцем, другими словами, когда относительный синодический период между одной из лун и солнцем и синодический период лун разделяют запрашиваемый период. Для внутренней Луны и Солнца синодический период равен$\frac{10385}{304}$. Так как 47 не имеет общих множителей с 304, первый общий множитель появляется при .

$$\frac{10385}{304} \cdot \frac{2418}{47} = \frac{12555465}{7144}$$ , или 1757,484 дня. (@Jonathan получает 2418, потому что его модель считает, что Солнце остается неподвижным в небе, но на самом деле оно вращается примерно один раз в год.) Точно такой же период подходит и для вашего вопроса 4 .

2. Как часто будут происходить лунные затмения для Луны А?

Здесь ответом является синодический период Солнца и Луны, уже заявленный как$\frac{10385}{304}$, или 34,161 дня. Это немного больше, чем период обращения Луны, потому что планета немного переместилась по своей орбите, слегка изменив положение Солнца на небе.

3. Как часто будут происходить лунные затмения для Луны B?

Синодический период и здесь,$\frac{26130}{257}$= 101,673 дня.

Вот моя попытка, предполагающая, что орбиты круговые и расположены в одной плоскости . В противном случае расчеты становятся более сложными, и эти переменные должны быть указаны. Размер планеты и размер лун также повлияют на расчет (например, они могут никогда не полностью затмиться, если планета достаточно мала/плотна). Также обратите внимание, что Луна A может затмить Луну B, а Луна B может затмить Луну A в зависимости от их размера. Я не учитываю это в своих расчетах (учитываю только затмевающую их планету).

1. Как часто обе луны будут полными одновременно, накладываясь друг на друга, как в яблочко?

Не считая орбиты планет, 31 — простое число, а 78 разбивается на множители 2, 7, 7. Поскольку нет общего общего знаменателя, не похоже, что они будут синхронизироваться чаще, чем 78 * 31 = 2418. дни

2. Как часто будут происходить лунные затмения Луны А?

Около 78 дней (+- около 78/335 дней из-за обращения планеты вокруг Солнца)

3. Как часто будут происходить лунные затмения для Луны b?

Около 31 дня (+- около 31/335 дней из-за обращения планеты вокруг Солнца)

4. Как часто оба затмения будут происходить одновременно?

Тот же ответ, что и № 1, который я рассчитываю на 2418 дней.

Приветствую уточнение/корректировку моих расчетов, это "грубая попытка".

ПРИМЕЧАНИЕ. Я использую «геоцентрическую» систему отсчета, в которой и луны, и солнце вращаются вокруг планеты, и создаю произвольную систему координат xy.

Из ответа @Hohmannfan мы отмечаем, что (для простоты отвечая на ваши вопросы не по порядку):

• Луна B затмевает солнце каждый$\frac{10385}{304}$(~ 34,16) дней. В этот период солнце завершает$\frac{31}{304}$й орбиты и Луна B завершает$1\frac{31}{304}$орбиты, один раз обогнув солнце.

• Луна А затмит солнце каждый$\frac{26130}{257}$(~ 101,67) дней. Солнце завершит$\frac{78}{257}$орбиты, и Луна А пройдет ее, завершив$1\frac{78}{257}$орбиты.

• Луна B будет накладываться на Луну A один раз в$\frac{2418}{47}$(~ 51,44) дней, в течение которых Луна А завершит$\frac{31}{47}$орбиты, и Луна B пройдет по ней, завершив$1\frac{31}{47}$орбиты.

Однако, как отмечает @Hohmannfan, нет никакой гарантии, что луны будут полными , когда они перекрываются.

Также нет гарантии, что две луны когда- либо затмят солнце в одно и то же время, хотя они будут сколь угодно близки к этому:

в$\frac{2418}{47}$дней между двумя последовательными лунными наложениями солнце перемещается$\frac{2418}{47} \times \frac{1}{335}$орбиты.

Как и выше, луны продвинулись вперед$\frac{31}{47}$орбиты.

Таким образом, по сравнению с солнцем луны продвинулись вперед$\frac{31}{47} - \frac{2418}{47} \times \frac{1}{335}$или же$\frac{7967}{15745}$орбиты (это число на удивление близко к$\frac{1}{2}$но это просто совпадение).

Это происходит между каждой парой перекрытий, поэтому угловое расстояние Солнца (по орбитам) от перекрывающихся лун равно$\frac{7967 n}{15745}+r$куда$r$- угловое расстояние при конкретном перекрытии и$n$любое целое число.

Для перекрывающихся лун, чтобы затмить солнце$\frac{7967 n}{15745}+r$должно быть целым числом. Если$r$иррационально, этого никогда не может быть.

Однако угловое расстояние может быть сколь угодно малым, вплоть до того, что наблюдатель не поймет, что двойное лунное затмение не на 100% идеально.

С помощью аналогичного аргумента вы можете показать, что две полнолуния будут сколь угодно близки к перекрытию.

ТЕПЕРЬ , если мы сделаем упрощающее предположение, что обе луны затмевают солнце в нулевом году (возможно, ваши жрецы-астрономы решили, что это необычное происшествие является подходящим моментом для начала исчисления лет, и считают, что ноль (а не единица) является хорошим первым год), мы можем сделать некоторые другие расчеты.

Поскольку луны выстраиваются в линию каждый$\frac{2418}{47}$дни и солнце и луна B выстраиваются в линию каждые$\frac{10385}{304}$дней, все три выстроятся (чтобы образовать двойное лунное затмение солнца) по наименьшему общему кратному этих чисел, или 810 030 дней (что будет ровно 2418 ваших лет, и обратите внимание, что 2418 — это произведение двух лунные орбиты в днях). В это время:

• Луна А совершит ровно 10 385 оборотов.

• Луна B совершит ровно 26 130 оборотов.

• Как и выше, Солнце совершит ровно 2418 оборотов.

Как оказалось, никогда не может быть идеального двойного яблочка полной луны:

• Луна Б будет полной днем$\frac{10385}{608}$(~ 17.08), после чего он завершится$\frac{335}{608}$орбиты, и Солнце завершит$\frac{31}{608}$орбиты, поэтому Луна B получит половину орбиты вокруг Солнца, что требуется для полнолуния. После этого луна будет полной каждый$\frac{10385}{304}$дней, период времени, который требуется солнцу, чтобы завершить$\frac{31}{304}$орбиты, и Луна B, чтобы завершить$1\frac{31}{304}$орбиты.

• По аналогичному расчету Луна А будет полной в день$\frac{13065}{257}$(~ 50,84) и каждый$\frac{26130}{257}$дней после этого.

• Чтобы определить, когда они оба полны одновременно, мы решаем это линейное диофантово уравнение:

$\frac{10385 n}{304}+\frac{10385}{608}=\frac{26130 m}{257}+\frac{13065}{257}$

где n и m — целые числа. Это сводится к:

$n\to \frac{47424 m+15745}{15934}$

К сожалению,$47424 m$всегда четно, поэтому$47424 m+15745$всегда странно. Так как знаменатель ($15934$) четно, вы делите нечетное число на четное число, и результат никогда не может быть целым числом.

Однако это не говорит всей истории. Например, если мы вычисляем позиции в день$\frac{34987576465283}{92766720}$(~377156,55), находим:

• Луна B находится на 122,5656 градусах.

• Луна А находится на расстоянии 122,5581 градуса, всего в 27 угловых секундах от нас.

• Солнце находится на расстоянии 302,5658 градуса, 179,9998 градуса от Луны B и 179,9924 градуса от Луны A (~ 28 угловых секунд от оппозиции).

Другими словами, это довольно близко к двойному полнолунию, хотя и не точно.

Аналогичным образом, несмотря на то, что двойные солнечные затмения происходят только раз в 810 030 дней, есть несколько близких признаков:

$\begin{array}{cc} \text{Day} & \text{Sep (')} \\ -810030.00000 & 0.00 \\ -754313.10860 & 0.91 \\ -698596.21710 & 1.82 \\ -642879.32570 & 2.73 \\ -587162.43420 & 3.64 \\ -531445.54280 & 4.55 \\ -475728.65130 & 5.47 \\ -445735.13160 & 7.29 \\ -420011.75990 & 6.38 \\ -390018.24010 & 6.38 \\ -364294.86840 & 7.29 \\ -334301.34870 & 5.47 \\ -278584.45720 & 4.55 \\ -222867.56580 & 3.64 \\ -167150.67430 & 2.73 \\ -111433.78290 & 1.82 \\ -55716.89145 & 0.91 \\ 0.00000 & 0.00 \\ 55716.89145 & 0.91 \\ 111433.78290 & 1.82 \\ 167150.67430 & 2.73 \\ 222867.56580 & 3.64 \\ 278584.45720 & 4.55 \\ 334301.34870 & 5.47 \\ 364294.86840 & 7.29 \\ 390018.24010 & 6.38 \\ 420011.75990 & 6.38 \\ 445735.13160 & 7.29 \\ 475728.65130 & 5.47 \\ 531445.54280 & 4.55 \\ 587162.43420 & 3.64 \\ 642879.32570 & 2.73 \\ 698596.21710 & 1.82 \\ 754313.10860 & 0.91 \\ 810030.00000 & 0.00 \\ \end{array}$

В приведенной выше таблице перечислены все близкие затмения в пределах 7,5 угловых минут, где день — это количество дней от 0-го года (включая дни до 0-го года), а sep — максимальное расстояние (в угловых минутах) между любыми двумя Лунами А. , Луна Б и Солнце. Обратите внимание, что дни$0$и$\pm 810030$идеальные затмения, как и ожидалось.

Точно так же самое близкое, что мы подошли к двойным полнолуниям, приведено ниже. В этом случае sep равно (в угловых минутах) максимуму:

• угловое расстояние Луны А от оппозиции

• угловое расстояние Луны B от оппозиции

• угловое расстояние между Луной А и Луной В

$\begin{array}{cc} \text{Day} & \text{Sep (')} \\ -797168.29790 & 10.29 \\ -767174.80850 & 8.92 \\ -711457.91490 & 7.55 \\ -655741.02130 & 6.17 \\ -600024.12770 & 4.80 \\ -544307.23400 & 3.43 \\ -488590.34040 & 2.06 \\ -432873.44680 & 0.69 \\ -377156.55320 & 0.69 \\ -321439.65960 & 2.06 \\ -265722.76600 & 3.43 \\ -210005.87230 & 4.80 \\ -154288.97870 & 6.17 \\ -98572.08511 & 7.55 \\ -42855.19149 & 8.92 \\ -12861.70213 & 10.29 \\ 12861.70213 & 10.29 \\ 42855.19149 & 8.92 \\ 98572.08511 & 7.55 \\ 154288.97870 & 6.17 \\ 210005.87230 & 4.80 \\ 265722.76600 & 3.43 \\ 321439.65960 & 2.06 \\ 377156.55320 & 0.69 \\ 432873.44680 & 0.69 \\ 488590.34040 & 2.06 \\ 544307.23400 & 3.43 \\ 600024.12770 & 4.80 \\ 655741.02130 & 6.17 \\ 711457.91490 & 7.55 \\ 767174.80850 & 8.92 \\ 797168.29790 & 10.29 \\ \end{array}$

Другие примечания:

• Несмотря на то, что вы сказали, что это вымысел, обратите внимание, что крайне маловероятно, что период обращения лун будет точно кратен планетным дням. Единственным исключением из этого является случай, когда луна (луны) заблокирована приливом, и в этом случае период обращения будет равен ровно одному дню.

• Точно так же маловероятно, что период обращения планеты будет точно кратен периоду ее вращения (у нас точно нет).

Это вообще интересная задача, и я пишу https://github.com/barrycarter/bcapps/blob/master/MATHEMATICA/bc-orrery.m для решения аналогичной задачи: https://physics.stackexchange.com /вопросы/197481/