Необходимые и достаточные условия для того, чтобы функция была функцией состояния Вигнера.

Ваш вопрос действительно был избит до полусмерти за 70 лет формулировки, и, как вы предположили, не все необходимые условия независимы, поэтому части избыточны.

Для чистого состояния реального$f(x,p)$достаточное условие является прямым, уравнение (6) из [. 1: Учитывая его преобразование Фурье (взаимную спектральную плотность), необходимо разложить на множители "влево-вправо",

Для смешанных состояний вам нужно проделать некоторую умственную работу, включающую недиагональные WF. Ссылки Нарковича 1986, 1987 в этой книге охватывают большую часть береговой линии. (В основном ВФ смешанного состояния имеет неотрицательный интеграл фазового пространства перекрытия со всеми чистыми ВФ на планете, поэтому, выбрав удобный полный базис, такой как собственные состояния осциллятора, может быть практично проверить достаточность.)

Напомним, что моменты фазового пространства любых и всех ВФ автоматически ограничиваются выполнением принципа неопределенности, справедливого для всех чистых состояний (и, следовательно, смешанных состояний), структурой, налагаемой указанным выше условием.

Использованная литература:

1. Томас Л. Куртрайт, Дэвид Б. Фэрли и Космас К. Захос, Краткий трактат о квантовой механике в фазовом пространстве, World Scientific, 2014. Файл PDF доступен здесь .

Обратной картой Вигнера является карта квантования Вейля.

Позволять$a(x,\xi)$быть функцией фазового пространства (т. е. символа в математических терминах).

• Если$a$является вещественным, то$(a)^{Weyl}$симметричен;

• Позволять$g(x,\xi)\in C^\infty(\mathbb{R}^{2d}; \mathbb{R}_+^*)$такой, что$\partial_{(x,\xi)}^\alpha g=O(g)$для любого$\alpha\in \mathbb{N}^{2d}$и равномерно на$\mathbb{R}^{2d}$. Затем$g$называется функцией порядка. Теперь рассмотрим функцию порядка$g$это тоже в$L^1(\mathbb{R}^{2d})$, и построим пространство символов$S_{2d}(g)$:$a\in S_{2d}(g)$если$a$гладко в$(x,\xi)$, и для любого$\alpha\in\mathbb{N}^{2d}$,$\partial_{(x,\xi)}^\alpha a=O(g)$.

  Тогда для любого$a\in S_{2d}(g)$,$(a)^{Weyl}$включен ли класс трассировки$L^2(\mathbb{R}^d)$; более того

  $$Tr (a)^{Weyl}=\frac{1}{(2\pi \hbar)^d}\int a(x,\xi)dxd\xi\; .$$

Следовательно, у вас есть достаточные условия для того, чтобы символ был функцией Вигнера симметричного оператора трассировки класса с трассировкой один. Только положительность оператора должна быть проверена, чтобы дать состояние. К сожалению, я не знаю, как априори проверить, что квантование по Вейлю данного символа является положительным оператором.

В качестве справочника по процедуре квантования Вейля я предлагаю вам эту книгу Мартинеса .

Квантовая версия теоремы Бохнера, обсуждаемая, например, Брокером и Вернером , Шринивасом и Вольфом , дает необходимое и достаточное условие для функции Вигнера (и P- или Q-функций, которые могут быть получены из функций Вигнера путем свертки/деконволюции) чтобы соответствовать допустимому оператору плотности (или вообще положительному оператору), проверив его преобразование Фурье.