Функционал Вигнера для фермионных полей (КТП в фазовом пространстве)

В настоящее время я изучаю вигнеровскую функциональную формулировку квантовой теории поля, которая выводится из картины Шредингера: операторы, действующие на состояния пространства Фока, являются функциями полей, не зависящих от времени.$\phi(\textbf{x})$. В позиционном представлении каждое состояние$|\Psi\rangle$представляется функционалом полей$\Psi[\phi] = \langle\phi|\Psi\rangle$, где$|\phi\rangle$являются собственными состояниями операторов поля. Они реализованы как ядра$\hat{\phi}(\textbf{x})\rightarrow\delta[\overline{\phi}-\phi]\phi(\textbf{x})$, а их сопряженные импульсы как$\hat{\pi}(\textbf{x})\rightarrow \delta[\overline{\phi}-\phi]\frac{\delta}{\delta\phi(\textbf{x})}$. Имея это в виду, состояния рассчитываются из зависящего от времени уравнения Шрёдингера:

$$i\frac{\partial}{\partial t}|\Psi(t)\rangle = H|\Psi(t)\rangle$$

Для фазовой формулировки этой теории все операторы записываются как функционалы полей и их сопряженных импульсов$\mathcal{O}[\phi,\pi]$, а состояние представляется b функционалом Вигнера$W[\phi,\pi]$, которое подчиняется уравнению Мойала:

$$\{\{W,H\}\} = W[\phi,\pi]\star H[\phi,\pi] - H[\phi,\pi]\star W[\phi,\pi] = 0$$

Где звездный продукт Мойала определяется как:

$$A[\phi,\pi]\star B[\phi,\pi] = A[\phi,\pi] \exp\left(\frac{i\hbar}{2}\int d^{3}\textbf{x}\ \frac{\overleftarrow{\delta}}{\delta\phi(\textbf{x})}\frac{\overrightarrow{\delta}}{\delta\pi(\textbf{x})} - \frac{\overleftarrow{\delta}}{\delta\pi(\textbf{x})}\frac{\overrightarrow{\delta}}{\delta\phi(\textbf{x})} \right) B[\phi,\pi]$$

Функционал Вигнера можно получить из функционала Шредингера с помощью преобразования Вигнера:

$$W[\phi,\pi] = \int \mathcal{D}\eta \ \Psi^{*}\left[\phi-\frac{\hbar}{2}\eta\right]e^{-i\int d^3\textbf{x}\ \eta(\textbf{x})\pi(\textbf{x})}\Psi\left[\phi+\frac{\hbar}{2}\eta\right]$$

Теперь все хорошо работает для скалярных и электромагнитных полей. Тем не менее, я столкнулся с несколькими трудностями, пытаясь применить эту формулировку к фермионному полю. Во-первых, операторы фермионного поля и их импульсы антикоммутируют, а это означает, что их собственные значения также должны:$\{ \psi(\textbf{x}),\psi(\textbf{y}) \} = 0$. Однако это можно решить, выразив функции поля$\psi(\textbf{x})$a переменных Грассмана и выполняя все расчеты с учетом этого. Моя основная проблема заключается в том, что сопряженный импульс фермионного поля является его сопряженным,$\pi_{\psi}(\textbf{x}) = i\psi^{\dagger}(\textbf{x})$. Поэтому значение поля$\psi$однозначно определяет импульс$i\psi^{\dagger}$. Таким образом, не будет ли функционал Вигнера$W[\psi,\psi^{\dagger}]$эффективно зависеть только от поля$\psi$? Как построить фазовое пространство, если сопряженный импульс связан с полем? Напомним, что этого не происходит для скаляра или электромагнитного поля, поскольку, хотя сопряженный импульс определяется как$\pi = \partial_0\phi$в картине Гейзенберга независимость операторов от времени в картине Шредингера устраняет эту связь.