Примеры преобразований Вейля нетривиальных операторов

Преобразование Вигнера-Вейля функции$f(x,p)$дан кем-то,

$$\Phi[f]= \frac{1}{4\pi^2}\iiiint f(x,p) \exp \left[ i \left( a(X-x)+b(P-p)\right)\right] \, dx\, dp\, da \, db$$

Как вы предложили, возьмем гамильтониан гармонического осциллятора, т.е.

$$\Phi[H]=\frac{1}{8m\pi^2}\iiiint p^2\exp \left[ i \left( a(X-x)+b(P-p)\right)\right] \, dx\, dp\, da \, db \\ + \frac{m\omega^2}{8\pi^2}\iiiint x^2\exp \left[ i \left( a(X-x)+b(P-p)\right)\right] \, dx\, dp\, da \, db$$

Нас интересует последний интеграл, так как они более или менее аналогичны. Первая интеграция завершена$x$, мы можем применить интегрирование по частям и игнорировать$p$:

$$\frac{m\omega^2}{8\pi^2}\iiint \frac{1}{a^3}e^{ia(X-x)+ib(P-p)}(ia^2 + 2ax-2i) \, dp \,da \, db$$

Интегрируя по$p$тривиально:

$$\frac{m\omega^2}{8\pi^2}\iint \frac{b}{a^3} e^{ia(X-x)+ib(P-p)}(ax^2 +2-i2ax) \, da \, db$$

С помощью Mathematica 9 мы можем выразить последующий интеграл по$a$в терминах полинома и экспоненциальной интегральной функции:

$$\frac{m\omega^2}{8\pi^2}\int \, b e^{ib(P-p)} \, \left[ (X-x)((ix^2+4x)-2X)\mathrm{Ei}(ia(X-x)) \\ -\frac{1}{a}e^{ia(X-x)}(i(X-x)+(x^2-i2x)+1) \right] \, db$$

Интеграл по$b$также тривиально, так как подынтегральное выражение содержит только$b$в виде$be^{b\dots}$Следовательно,

$$-\frac{m\omega^2}{8\pi^2(P-p)^2} \left[ (X-x)((ix^2+4x)-2X)\mathrm{Ei}(ia(X-x)) -\frac{1}{a}e^{ia(X-x)}(i(X-x)+(x^2-i2x)+1) \right]e^{ia(X-x)+ib(P-p)}\left( ib(P-p)-1\right)$$

Примените ту же процедуру к исходному первому интегралу, объедините два и т. д.

Стандартное название того, что вы ищете, — преобразование Вигнера, обратное преобразованию Вейля. (Поскольку преобразование Вейля отображает функции фазового пространства в операторы.) Для произвольного оператора в любом порядке преобразование Вигнера следует простой формуле Кубо 1964 года, уравнение (111) из работы. 1, эффективное преобразование Фурье недиагональных матричных элементов указанного оператора между собственными состояниями положения.

Хорошо известно, что преобразование Вигнера кулоновского потенциала является неудобным интегральным выражением (есть лучшие способы решения атома водорода в фазовом пространстве). Для гамильтониана осциллятора это стандартное выражение в нормированных безразмерных единицах квадрат радиуса в фазовом пространстве,$(p^2+x^2)/2$. Для типичного операторного выражения exp(ax̂) exp(bp̂) преобразование Вигнера согласно этой формуле равно exp($ax+bp+i\hbar ab/2$).

Более известным преобразованием Вигнера является преобразование оператора эволюции осциллятора:$\exp(\frac{it}{2\hbar} (\hat{x}^2 + \hat{p}^2) )$, а именно уравнение (60) из работы. 1,

$$\frac{1}{\cos (t/2)} e^{\frac{i\tan(t/2)}{\hbar} (x^2+p^2)} ~.$$

Использованная литература:

1. Томас Л. Куртрайт, Дэвид Б. Фэрли и Космас К. Захос, Краткий трактат о квантовой механике в фазовом пространстве, World Scientific, 2014. Файл PDF доступен здесь .