Несколько сталкивающихся шаров

Вам необходимо настроить систему$K$уравнения с$K$неизвестные импульсы, если они получены из$N$мячи, тогда как только$K$из них сталкиваются в какое-то время.

Вот как это сделать:

1. Создайте вектор (блок) со всеми векторами скорости в последовательности. Размер$2N\times1$ $$\mathbf{v} = \begin{pmatrix} \vec{v}_1 \\ \vec{v}_2 \\ \vdots \\ \vec{v}_N \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \dot{x}_1 \\ \dot{y}_1 \\ \dot{x}_2 \\ \dot{y}_2 \\ \vdots \\ \dot{x}_N \\ \dot{y}_N \end{pmatrix}$$

2. Создайте (блочную) матрицу со всеми массами, но также$2N$ряды

   $$\mathbf{M} = \begin{bmatrix} m_1 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & m_1 & 0 & 0 & & 0 & 0 \\ 0 & 0 & m_2 & 0 & & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & m_2 & & 0 & 0 \\ & & & & \ddots & & \\ 0 & 0 & 0 & 0 & & m_N & 0 \\0 & 0 & 0 & 0 & & 0 & m_N \end{bmatrix}$$ такой, что$\mathbf{M} \mathbf{v}$были бы все компоненты импульса.

3. Вы ищете изменение скорости$\Delta \mathbf{v}$из-за всех импульсов от столкновений. Если бы вы знали сумму всех импульсов$\boldsymbol{\ell}$(опять же в$2N\times1$вектор), то вы запишете изменение скорости как

   $$\Delta \mathbf{v} = \mathbf{M}^{-1} \boldsymbol{\ell}$$

4. Создать$2N \times K$блочная матрица контактной пары$\mathbf{Z}$. Каждый столбец представляет контакт между двумя телами ($i \rightarrow j$) путем содержания вектора контактной нормали$\hat{n}_{ij}$в$j$-th позиция блока и отрицательный вектор нормали$-\hat{n}_{ij}$в$i$-я позиция блока. Например:

   $$\mathbf{Z} = \begin{bmatrix} -\hat{n}_{13} & 0 & -\hat{n}_{14} \\ 0 & -\hat{n}_{24} & 0 \\ \hat{n}_{13} & 0 & 0 \\ 0 & \hat{n}_{24} & \hat{n}_{14} \end{bmatrix}$$ представляет собой матрицу контактных пар, когда тела ($1 \rightarrow 3$,$2 \rightarrow 3$и$1 \rightarrow 4$) сталкиваются. Стрелка указывает направление, на которое указывает вектор нормали, и, следовательно, направление, в котором применяется положительный импульс. Помните, что каждый контактный вектор нормали имеет две составляющие.$\hat{n} = ( \cos \psi, \sin \psi )$.

5. Построить$K \times 1$вектор неизвестных величин импульсов для каждой контактной пары.

   $$\mathbf{J} = \begin{pmatrix} J_{13} \\ J_{24} \\ J_{14} \end{pmatrix}$$ Теперь сумма всех импульсов вычисляется по формуле $$\boldsymbol{\ell} = \mathbf{Z} \,\mathbf{J}$$

6. Рассчитайте относительную скорость каждой контактной пары ($K \times 1$вектор) путем проецирования скоростей на нормаль контакта

   $$\mathbf{u}_{imp} = \mathbf{Z}^\top \mathbf{v}$$

7. Установите закон столкновения с точки зрения относительных скоростей до и после столкновения.

   $$\mathbf{Z}^\top \left( \mathbf{v} + \Delta \mathbf{v} \right) = -\epsilon \mathbf{Z}^\top \mathbf{v}$$ где$\epsilon$- коэффициент реституции. Перенесем известные в правую сторону и найдем изменение относительных скоростей на $$\mathbf{Z}^\top \Delta \mathbf{v} = -(1+\epsilon) \mathbf{Z}^\top \mathbf{v} = -(1+\epsilon) \mathbf{u}_{imp}$$

8. Соедините 3. 5. и 7., чтобы получилось

   $$\mathbf{Z}^\top \left(\mathbf{M}^{-1} \left( \mathbf{Z} \,\mathbf{J} \right) \right) = -(1+\epsilon) \mathbf{u}_{imp}$$ и найти неизвестные импульсы $$\mathbf{J} = -\left(\mathbf{Z}^\top \mathbf{M}^{-1} \mathbf{Z} \right)^{-1} (1+\epsilon) \mathbf{u}_{imp}$$ Обратите внимание, что$\mathbf{Z}^\top \mathbf{M}^{-1} \mathbf{Z}$это$K \times K$матрица, требующая обращения.

9. Когда все импульсы рассчитаны, каждый вектор скорости тела изменяется на

   $$\Delta \mathbf{v} = \mathbf{M}^{-1} \mathbf{Z} \,\mathbf{J}$$

Пример

Представьте себе три сферы, столкнувшиеся одновременно:

Используйте этот MATLABскрипт, чтобы найти их окончательные скорости:

%% Example triple impact (with 3D vectors)
% Three spheres impact at the same time. See Figure for their
% masses, positions and velocities before impact

% define unit vectors
o_ = [0;0;0];
i_ = [1;0;0];
j_ = [0;1;0];
k_ = [0;0;1];

R = 20;
r_1 = R*i_ 
r_2 = -R*i_
r_3 = R*tand(60)*j_

% Three possible contacts: 1*2, 2*3, 1*3
n_12 = (r_2-r_1)/norm(r_2-r_1)
n_23 = (r_3-r_2)/norm(r_3-r_2)
n_13 = (r_3-r_1)/norm(r_3-r_1)

% velocity vectors before impact
v_1 = o_;
v_2 = -1.0*n_12
v_3 = -2.0*n_13

v = [v_1;v_2;v_3]

% mass matrix
M = blkdiag(5.0*eye(3),4.0*eye(3),3.0*eye(3))

% contact pair matrix
Z = [-n_12, o_, -n_13; n_12, -n_23, o_; o_, n_23, n_13]
% Z =
% 
%     1.0000         0    0.5000
%          0         0   -0.8660
%          0         0         0
%    -1.0000   -0.5000         0
%          0   -0.8660         0
%          0         0         0
%          0    0.5000   -0.5000
%          0    0.8660    0.8660
%          0         0         0

% coefficient of restitution
eps = 0.5

% impact speeds
u_imp = Z.'*v

% impulses
J = -(1+eps)*inv(Z.'*inv(M)*Z)*u_imp
% J =
% 
%     1.7021
%     2.1702
%     4.6277

% velocity vector change
Dv = inv(M)*Z*J

% final velocity
v_final = v+Dv
% v_final =
% 
%     0.8032
%    -0.8015
%          0
%     0.3032
%    -0.4699
%          0
%     0.5904
%     0.2303
%          0


% check for error
actual = Z.'*(v+Dv);        %(relative speeds after impact) =
expected = -eps * u_imp;    % -eps*(relative speeds before impact)
err = actual-expected

% err =
% 
%   1.0e-015 *
% 
%    -0.1110
%    -0.6661
%    -0.6661

В последней части я проверяю результаты на закон контактов и получаю ошибку ~1e-15.

К сожалению, я должен согласиться с Джонатаном Уилером: других доступных формул нет, и ваш нынешний метод, вероятно, лучший даже для трех мячей.

В «Колыбели Ньютона» результат один и тот же независимо от того, соприкасаются шары или нет. Небольшой зазор между шариками дает тот же конечный результат. Это говорит о том, что ваш подход к разделению столкновения нескольких тел на последовательность парных столкновений даст правильный физический результат. На практике это почти всегда возможно, поскольку при увеличении разрешения, т. е. при уменьшении временного шага в моделировании, можно увидеть, что сначала происходит одно парное столкновение.

Недостатком, как вы заметили, является то, что эта процедура может потребовать чрезмерных вычислений, потому что может быть много повторных столкновений между одной и той же парой тел. Если симуляция отображается в реальном времени, вся симуляция может заметно замедляться всякий раз, когда происходит такое столкновение. Отсюда потребность в методе определения результата без стольких итераций.

За исключением нескольких ситуаций, в которых есть некоторая симметрия, не существует (насколько мне известно) известной замкнутой формулы, дающей результат даже для столкновения трех тел, сравнимый с уравнениями для столкновения двух тел. Это связано с тем, что одновременное столкновение трех твердых тел является неопределенным , т. е. недостаточно ограничений для соответствия количеству переменных.

Как предполагает Гарип, включение упругой деформации и сил в модель создает больше ограничений, позволяя определить результат. Однако моделирование деформируемых тел усложняет программу, и из-за связи между силами результирующие уравнения, вероятно, потребуют численного решения путем итерации. Таким образом, возникает та же проблема увеличения времени вычислений.

Симметричные столкновения трех одинаковых шаров включают (i) коллинеарный случай и (ii) один шар, движущийся перпендикулярно двум другим, которые либо неподвижны, либо движутся с той же скоростью в том же или противоположном направлении по отношению к первому. Однако такие симметричные случаи будут крайне редки при моделировании молекулярного движения.

Вывод: если вы хотите, чтобы ваша симуляция была точным описанием реального столкновения трех тел, ваш текущий метод (решение последовательных парных столкновений с достаточным временным разрешением), вероятно, является наиболее эффективным из доступных. Тот же метод обрабатывает все столкновения с несколькими мячами.

Полезные ссылки

Вопрос об упругих столкновениях и сохранении импульса/энергии.
Столкновение твердого тела, 3 соприкасающихся круга.
Расчет трехстороннего столкновения кругов.

Исследовательские статьи

Распространенная модель одновременного удара: существование, уникальность и конструктивные последствия.
Размышления об одновременном ударе.
Осуществление осмысленного воздействия: моделирование одновременных фрикционных столкновений в пространственных системах с несколькими телами.
Незаконченная колыбель Ньютона: эксперименты и модели столкновений для нормального столкновения трех твердых сфер ( доступ через paywall )
Задача отскока двух шаров
Диаграмма перехода состояний для одновременных столкновений с применением в бильярдной стрельбе
Свойства восстановления при прямом центральном столкновении трех неупругих сфер
Две интерпретации жесткости при столкновениях твердого тела ( список ResearchGate с цитатами )

Это только частичный ответ, но, надеюсь, он поможет.

Есть два принципа, которые вам нужно помнить, когда вы решаете для движения. Сохранение энергии и сохранение импульса . А именно,

В общем, задачу «трех тел» довольно сложно решить, и если вы можете, вам лучше смоделировать столкновение трех шаров в трех парах столкновений. Я не думаю, что решение приведенных выше уравнений сохранения приведет к каким-либо элегантным формам, когда$n \ge 3$.