Представьте себе круглую проволочную петлю (r = 50 мм), провод имеет предполагаемый нулевой диаметр, который встроен в железный сердечник в форме тора с круглым поперечным сечением R = 10 мм.

Ток в этой петле вызовет круговое магнитное поле вокруг провода. Есть ли возможность рассчитать сопротивление этого ядра?

Я ищу решение уже несколько недель, но безуспешно. Желательно решение для гармонических токов, но я был бы даже рад решению для постоянного тока.

---

КОНТЕКСТ

чтобы объяснить, что это все о.

Моя реальная геометрия выглядит следующим образом:

Тороидальная катушка, окруженная сердечником с поперечным сечением прямоугольника со скругленными углами. Так что меня интересует нежелание сероватой части (и других углов). Если сложить все углы вместе, получится упомянутый тор. Зеленые линии — магнитный поток, прямоугольник посередине — тородиальная катушка.

Для высоких частот и/или материалов с высокой проводимостью и/или высокой проницаемостью влияние углов незначительно, в моем случае, к сожалению, нет.

Я предполагаю, что аналитического решения не существует, но любая идея, которая могла бы приблизить меня к нему, помогла бы.

Спасибо!

---

---

Попытка решения

Предисловие

Если кто-то хочет рассчитать перманентность$P$из прямоугольного бруса:

это простая задача:

$$P = \frac{\mu a b}{L} ~~~~ \rightarrow ~~~~ P\propto ab ~~~~and~~~~ P\propto\frac{1}{L}$$

где$\mu$материальная постоянная. (Проницаемость)

Но моя геометрия — это тор с четвертью круглого поперечного сечения и полем$V$ проходит через него параллельно окружности (полного) поперечного сечения:

Как я могу вычислить перманентность этой геометрии, когда существуют те же пропорциональные отношения, что и выше?

---

Попытка решения

Я делю свою геометрию на$N$полые торы с постоянной толщиной стенки$\Delta R$и элемент средней длины$\Delta L$, поэтому поле проходит площадь$\Delta A$:

Маленький кусочек радиуса$R$является$\Delta R = \frac{R}{N}$. Теперь можно вычислить:

$$\Delta P_{n} = \frac{\mu \Delta A_n}{\Delta L_n}$$

с

$$\Delta A_n = \pi \bigg( (r+(n+1) \Delta R)^2-(r+n \Delta R)^2\bigg)$$ (Учитывайте полную окружность тора, а не только четверть, как показано)

и

$$\Delta L_n = \frac{\pi}{2} (2n+1) \frac{\Delta R}{2}$$ (но четверть поперечного сечения!)

следует:

$$P = \sum^{N-1}_{n=0} \Delta P_{n} = \mu\sum^{N-1}_{n=0} \frac{\pi(2r\Delta R+(2n+1)(\Delta R)^2)}{\frac{\pi}{2}(2n+1)(\frac{\Delta R}{2})}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~$$

$$= 4\mu\sum^{N-1}_{n=0} \frac{2r\Delta R+(2n+1)(\Delta R)^2}{(2n+1)(\Delta R)}$$

$$= 4\mu\sum^{N-1}_{n=0} \Bigg( \frac{2r}{(2n+1)} + \Delta R \Bigg)~~~~~~~~~~$$

$$= 4\mu \Bigg( R + 2r \sum^{N-1}_{n=0} \frac{1}{(2n+1)} \Bigg)~~~~~~~~~~$$

И этот ряд не сходится для$N\rightarrow\infty$. Что физически увидеть невозможно, значит, должна быть проблема с математикой. Вы видите, что мне не хватает?